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Zur Beslimmung vielfacher Integrale.

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§. 2.

Als erstes Beispiel der Anwendung der oben beschriebenen Methode wählen wir das Integral

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in welchem k, a, b5, positive Constanten bezeichnen, und welches über alle positiven Werthe der Veränderlichen ausgedehnt werden soll, die der

Bedingung (2) 2ä=a++.=1

genügen. Es wird, wie immer in ähnlichen Fällen, vorausgesetzt, daſs die Incremente dæ,&ς⁴, positiv sein sollen. Multiplicirt m man das Element dieses vielfachen Integrals mit

dc,

so wird man nach, der oben bemerkten Eigenschaft dieses Ausdrucks die Integrationen nach den einzelnen Variabeln æ, N,... zwischen den Grenzen o und oo ausführen dürfen. Man erbält so

(3) 2AUeredr.=ch.. 29 cos* dq.

Dieses neue Integral ist kein völlig bestimmtes und es bedarf einer Untersuchung, ob dasselbe seinen Werth nicht ändert, wenn wir, statt erst nach ꝓ und dann nach æ,,... zu integriren, wie es eigentlich geschehen sollte, was uns aber zu dem Integral(1) zurückführen würde, die Integra- tionen nach æ, y,.. der nach vorangehen lassen. Um sich in diesem Falle zu überzeugen, dafs die so veränderte Ordnung der Operationen kei- nen Einflufs auf das Resultat ausübt, darf man nur unter den Zeichen mit e-—es multipliciren. So lange die positive Constante e von Null verschieden

pleibt das so modificirte Integral völlig bestimmt, und man sieht so- gleich, daſs der Werth desselben für ein unendlich klein werdendes e das Integral(3) zur Grenze hat, man mag in diesem mit der Integration nach% oder mit denen nach æ,,... beginnen. Wir dürfen daher in dem Integral (3) zuerst nach æ, ,.. integriren. Wir sehen so und wenn wir zugleich statt cos—[σ die imaginäre Exponentialgröſse eei, wo i wie gewöhnlich 7— 1

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