4 LEIEUNE-DIICHLET über eine neue Methode

anders verhält sich die Sache im zweiten der eben erwähnten Fälle; das Integral ist dann wesentlich unbestimmt oder unendlich. Nimmt dasselbe bei einer gewissen Aufeinanderfolge der einzelnen Integrationen einen be- stimmten endlichen Werth an, so kann bei veränderter Ordnung derselben oder nach Einführung neuer Variabeln, ein solcher zu existiren aufhören, oder, wenn dies auch nicht der Fall sein sollte, so kann dieser Werth von demjenigen verschieden sein, welcher der Art, wie die Integrationen zuerst ausgeführt wurden, entsprach. Es folgt daraus, daſs, wenn ein In- tegral der zweiten Art, bei einer bestimmten Ordnung der Integrationen, Gegenstand der Untersuchung ist, man keine der oben genannten Verände- rungen damit vornehmen kann, ohne sich vorher überzeugt zu haben, daſs gdiese keinen Einflufs auf das Resultat ausübt. Gewöhnlich wird man diesen Zweck dadurch erreichen, dafs man statt der Funktion P eine andere all- gemeinere P. einführt, welche eine neue Constante- enthält und für e= o, in P übergeht. Ist alsdann das Integral PAda d.. zwischen denselben Grenzen und so lange als e von Null verschieden ist, ein völlig bestimmtes, und läſst sich zugleich nachweisen, daſs der Unterschiegt zwischen den In- tegralen Pdæx d.., JP. d; d..

vor und nach der beabsichtigen Veränderung für ein unendlich kleines e selbst unendlich klein wird, so kann man daraus schlieſsen, daſs auch das Integral P da d. von dieser Veränderung nicht afficirt wird. Es ist dieses Verfahren demjenigen ganz analog, welches mehrere Mathematiker und namentlich Poisson und Cauchy schon angewandt haben, um ähn- lichen Unbestimmtheiten vorzubeugen. Uber die Wahl der Funktion P. lassen sich keine allgemeinen Vorschriften geben. In bestimmten Fällen wird man jedoch in dieser Beziehung nur höchst selten auf erhebliche Schwierigkeiten stoſsen; vielmehr wird man bei einiger Ubung leicht dahin gelangen, ohne das im Vorhergehenden angedeutete Verfahren wirklich an- zuwenden, aus der bloſsen Ansicht der gegebenen Funktion P zu erkennen, ob das zu behandelnde Integral die beabsichtigte Umformung zuläfst oder nicht.

Ordnung natürlich unbestimmt werden, obgleich das ursprüngliche einen völlig bestimmten endlichen Werth hatte. Es kommt dabei lediglich darauf an, ob die in das gegebene In- tegral eingeführten neuen Integrale völlig bestimmte sind oder nicht,