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Beweis des Satzes, daſs jede unbegrenzte arithmetische

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Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält.

Von G. LEJEUNE-DIRICHLET.

[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 27. Juli 1837.]

De aufmerksame Betrachtung der natürlichen Reihe der Primzahlen läſst an derselben eine Menge von Eigenschaften wahrnehmen, deren Allgemein- heit durch fortgesetzte Induction zu jedem beliebigen Grade von Wahr- scneinlichkeit erhoben werden kann, während die Auffindung eines Beweises, der allen Anforderungen der Strenge genügen soll, mit den gröſsten Schwie- rigkeiten verbunden ist. Eines der merkwürdigsten Resultate dieser Art bie- tet sich dar, wenn man sämmtliche Glieder der Reihe durch dieselbe übri- gens ganz beliebige Zahl dividirt. Nimmt man die Primzahlen aus, die im Divisor aufgehen und mithin unter den ersten Gliedern der Reihe vorkom- men, so werden alle übrigen einen Rest lassen, welcher relative Primzahl zum Divisor ist, und das Resultat, welches sich bei fortgesetzter Division herausstellt, besteht darin, daſs jeder Rest der genannten Art unaufhörlich und zwar so, daſs das Verhältniſs der Zahlen, welche für irgend bezeichnen, wie oft sie bis zu einem gewissen Gliede er- er weiter fortgesetzter Division die Einheit zur Grenze hat. Abstrahirt man von der zunehmenden Gleichmäſsigkeit des Vorkom- mens der einzelnen Reste und beschränkt das Beobachtungsresultat auf die nie aufhörende Wiederkehr eines jeden derselben, so läſst sich dasselbe in dem Satze aussprechen:» daſs jede unbegrenzte arithmetische Reihe, deren stes Glied und Differenz keinen gemeinschaftlichen Factor haben, un-

wiederkehrt, zwei solche Reste schienen sind, bei imm

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„endlich viele Primzahlen enthält.« A