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2 DmiCHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..
Für diesen einfachen Satz existirte bis jetzt kein genügender Beweis, wie sehr auch ein solcher wegen der zahlreichen Anwendungen zu wünschen war, welche von dem Satze gemacht werden können. Der einzige Mathema- tiker, welcher die Begründung dieses Theorems versucht hat, ist, so viel ich weiſs, Legendre(1¹), für den diese Untersuchung aufser dem Reiz, welcher in der Schwierigkeit des Gegenstandes liegt, noch ein ganz besonderes In- teresse durch den Umstand haben muſste, daſs er die erwähnte Eigenschaft der arithmetischen Progression bei früheren Arbeiten als Lemma benutzt hatte. Legendre macht den zu beweisenden Satz von der Aufgabe ab- hängig, die gröſste Anzahl auf einander folgender Glieder einer arithmeti- schen Reihe zu finden, welche durch gegebene Primzahlen theilbar sein können, löst aber diese Aufgabe nur durch Induction. Versucht man, die auf diese Weise von ihm gefundene, durch die Einfachheit der Form des Resultats höchst merkwürdige Auflösung der Maximumsaufgabe zu be- weisen, so stöfst man auf grofſse Schwierigkeiten, deren Uberwindung mir nicht hat gelingen wollen. Erst nachdem ich den von Legendre einge- schlagenen Weg ganz verlassen hatte, bin ich auf einen völlig strengen Be- weis des Theorems über die arithmetische Progression gekommen. Der von mir gefundene Beweis, welchen ich der Akademie in dieser Abhandlung vor- zulegen die Ehre habe, ist nicht rein arithmetisch, sondern beruht zum Theil auf der Betrachtung stetig veränderlicher Gröſsen. Bei der Neuheit der da- bei zur Anwendung kommenden Principien hat es mir zweckmäſsig geschie- nen, dem Beweise des Theorems in seiner ganzen Allgmeinheit die Behand- lung des besonderen Falles voraus zu schicken, in welchem die Differenz der Progression eine ungerade Primzahl ist.
§. 1.
Es sei p eine ungerade Primzahl und c eine primitive Wurzel dersel- ben, so daſs also die Reste der Potenzen
0 1 2— c°, C, C,(C*=,
bei der Division durch p, wenn man von ihrer Ordnung absieht, mit den Zahlen 1, 2, 3,. p— 1 zusammenfallen. Ist n eine nicht durch p theilbare
(t) Theorie des Nombres. Aieme Partie.§. IX.