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Zahl, so werden wir mit Gaufs den Exponenten=p—:, welcher der Con- Sruenz c'=n(mod. p) genügt, den Index von n nennen, und falls es nöthig sein sollte, mit, bezeichnen. Die Wahl der primitiven Wurzel« ist gleichgültig, nur soll angenommen werden, daſs man die einmal gewählte nicht ändere. In Bezug auf die eben definirten Indices gilt der leicht zu beweisende Satz, dafs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das darin enthaltene Vielfache von p— vermindert, gleich ist. Ferner bemerke man, daſs immer,= 0,,==—, so wie daſs y, gerade oder ungerade sein wird, je nachdem n Quadratrest oder Nichtquadratrest von p ist, oder mit Anwendung des Legendreschen Zeichens, je nachdem 6=+ 1 oder (7)== 1 ist.

Es sei nun q irgend eine von p verschiedene Primzahl(2 nicht ausge- geschlossen) und s eine positive die Einheit übersteigende Gröſse. Man be- zeichne ferner mit œ irgend eine Wurzel der Gleichung

1— 1=,(1)

und bilde die geometrische Reihe

1 27 2 X+ s(2)

1— 9 7 7 7

in welcher den Index von bedeutet. Denkt man sich für g alle von„ verschiedenen Primzahlen gesetzt, und multiplicirt die so entstehenden Glei- chungen in einander, so erhält man auf der zweiten Seite eine Reihe, deren Gesetz leicht zu erkennen ist. Ist nämlich n irgend eine nicht durch p theil- pare ganze Zahl, und setzt man n= G—£. wo †, †“,.. verschiedene Primzahlen bezeichnen, so wird das allgemeine Glied die Form haben

9+— m' P,+ ·.⸗ 1

Nun ist aber m'o, ‿ m e..=,(mod.„— ¹),

und folglich wegen(1) n m'+. 2

Man hat daher die Gleichung

II 4 1= a*= L,(3) 4— 5 A 2

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