4 DmiCHILET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S. w.
wo sich das Multiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit alleiniger Ausnahme von p, erstreckt, während die Summation sich auf alle ganzen Zahlen von 4 bis oo bezieht, welche nicht durch p theilbar sind. Der Buchstabe y bedeutet auf der ersten Seite y,, auf der zweiten dagegen Ne.
Die eben gefundene Gleichung repräsentirt— 1 verschiedene Glei- chungen, welche man erhält, wenn man für w seine p— 1 Werthe setzt. Be- kanntlich lassen sich diese p— 1 verschiedenen Werthe durch die Potenzen von einem derselben Q darstellen, wenn dieser gehörig gewählt wird, und sind dann
0, 92¹, 22,.. 222,
Wir werden, dieser Darstellung entsprechend, die verschiedenen Wer-
the L der Reihe oder des Products mit
Aro, AA, Ke, ee(4) bezeichnen, wobei es einleuchtet dafs Lo und Le=t eine von der Wahl des — 8 3 2 Werthes Q unabhängige Bedeutung haben und sich resp. auf ά 1, σέ— 1 beziehen. b
Ehe wir weiter gehen, ist es nöthig, den Grund der oben gemachten Voraussetzung anzugeben, nach welcher sein sollte. Man überzeugt sich von der Nothwendigkeit dieser Beschränkung, wenn man auf den we- sentlichen Unterschied Rücksicht nimmt, welcher zwischen zwei Arten von unendlichen Reihen Statt findet. Betrachtet man statt jedes Gliedes seinen Zahlenwerth oder wenn es imaginär ist, seinen Modul, so können zwei Fälle eintreten. Es läſst sich nämlich entweder eine endliche Gröfse angeben, welche die Summe von irgend welchen und noch so vielen dieser Zahlenwerthe oder Moduln stets übertrifft, oder diese Bedingung wird von keiner noch so groſsen aber endlichen Zahl erfüllt. Im ersteren Falle ist die Reihe immer convergirend und hat eine völlig bestimmte Summe, welche von der Anord- nung der Glieder ganz unabhängig ist, sei es nun, daſs diese nur nach einer Dimension, sei es, daſs sie nach zwei oder mehr Dimensionen fortschreiten, und eine sogenannte Doppel- oder vielfache Reihe bilden. Im zweiten der eben unterschiedenen Fälle kann zwar die Reihe auch noch convergiren, aber diese Eigenschaft, so wie die Summe der Reihe, werden wesentlich durch die Art der Aufeinanderfolge der Glieder bedingt sein. Findet die Convergenz für eine gewisse Ordnung Statt, so kann sie durch Anderung