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unencllich viele Primzahlen enthält. 25

wo sich die Summationen auf der ersten Seite resp. auf alle Primzahlen— beziehen, deren erste, zweite, dritte Potenzen in der Form x m enthal- ten sind, während die Summation auf der zweiten Seite über a, b, c, c,..., zwischen den schon angegebenen Grenzen zu erstrecken ist. Setzt man spe- ciell m= 1, 8o wird α= 0, O,= 0,)„= 0, I„= 0,.., und die zweite Seite reducirt sich auf

1 2 log La, b, c.c...

Unter den Gliedern dieser Summe wird dasjenige, welches dem L der er-

sten Klasse, oder nach(11), Lo, o, o, o,... entspricht, vermöge(12), log(?) enthalten. Diejenigen Glieder, welche den verschiedenen L der zweiten Klasse entsprechen, werden, unter Voraussetzung der oben geforderten Nach- weisung, für ein unendlich kleines g endlich bleiben. Wäre nun der Grenz- werth für irgend ein L der dritten Klasse der Null gleich, so würde, wie in §. 5., die Betrachtung der Continuität des Ausdrucks(13) für den Logarith- mus dieses L, mit dem des ihm zugeordneten Z verbunden, das Glied — 2 10() ergeben, aus dessen Vereinigung mit log(5) in log Lo, o, 5, d⸗.:.

noch— log(¹) bliebe, welches Glied für ein unendlich klein werdendes

den Werth— oo annimmt, während die erste Seite aus lauter positiven Glie- dern besteht. Es kann daher kein L der dritten Klasse die Null zum Grenz- werth haben, und wir haben das Resultat(unter Vorbehalt des noch zu ge- penden Beweises für die Reihen der zweiten Klasse), daſs

log La, b, c, c,..

sich für ein unendlich klein werdendes 9 immer einer endlichen Grenze nä- 3 80 0— 7.. hert, ausgenommen, wenn gleichzeitig a= o, b= o, c= 0, c= 0,.. ist, in

welchem Falle dieser Logarithmus einen unendlich groſsen Werth erhält.

Wendet man dieses Resultat auf die allgemeine Gleichung(15) an, so sieht man sogleich, daſs die zweite Seite derselben für ein unendlich klei- nes g unendlich wird, und zwar durch das Glied X log Lo, o, o, o,. wel- ches über jede Grenze hinaus wächst, während alle übrigen endlichebleiben. Es muſs also auch die erste Seite jede endliche Grenze überschreiten, wor- aus, wie in§. 6. folgt, daſs die Reihe= unendlich viele Glieder enthält, oder mit anderen Worten, daſs die Anzahl derjenigen Primzahlen-, welche

die Form Ku m haben, in welcher eine unbestimmte ganze Zahl und

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