26 DMICHLET: Beceis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression 1. S. 6.
m eine gegebene Zahl bezeichnet, die keinen gemeinschaftlichen Factor mit x hat, unendlich ist, w. z. b. w.
§. 11.
Was nun die zur Vervollständigung des eben entwickelten Beweises noch erforderliche Nachweisung betrifft, so reducirt sich diese nach dem unter(14) gegebenen Ausdruck für den Grenzwerth eines L der zweiten oder dritten Klasse darauf, daſs man zeige, dafſs für irgend eine Wurzel- combination der Form ₰1, ₰,£ 1, ³₰ 1,.„, mit alleiniger Ausnahme der folgenden+ 1,+1,+;,+ 1, die Summe
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2(4-1)(t. 1)(A*. ¹)⸗(1)*,*,(46)
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worin, G,,",.. das System der Indices für n pedeutet, und für n alle positiven ganzen Zahlen, welche durch keine der Primzahlen 2, p, pf, p',... theilbar sind, und so wie sie ihrer Gröſse nach auf einander folgen, zu setzen sind, einen von der Null verschiedenen Werth hat. In der Abhandlung, so wie sie der Akademie ursprünglich vorgelegt wurde, hatte ich diese Eigen- schaft durch indirecte und ziemlich complicirte Betrachtungen bewèesen. Ich habe mich aber später überzeugt, dafſs man denselben Zweck auf einem an- dern Wege weit kürzer erreicht. Die Principien, von welchen wir hier aus- gegangen sind, lassen sich auf mehrere andere Probleme anwenden, zwi- schen denen und dem hier behandelten Gegenstande man zunächst keinen Zusammenhang vermuthen sollte. Namentlich kann man mit Hülfe dieser Principien die sehr interressante Aufgabe lösen, die Anzahl der verschiede- nen quadratischen Formen zu bestimmen, welche einer peliebigen positiven oder negativen Determinante entsprechen, und man findet, daſs diese An- zahl(was jedoch nicht die Endform des Resultates dieser Untersuchung ist) als Product von zwei Factoren dargestellt werden kann, wovon der erste eine sehr einfache Function der Determinante ist, welche für jede Determi- nante einen endlichen Werth hat, während der andere Factor durch eine Reihe ausgedrückt ist, die mit der obigen(16) zusammenfällt. Aus diesem Resultat folgt dann unmittelbar, daſs die Summe(16) nie Null sein kann, da sonst für die entsprechende Determinante die Anzahl der quadratischen Formen sich auf Null reduciren würde, während diese Anzahl wirklich im-
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mer 1 ist, en X.