,.

—

4—

——— „——ſ..

24 DmicHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. w.

Es sei nun m irgend eine ganze Zahl=, welche keinen gemein- schaftlichen Factor mit x hat. Multiplicirt man auf beiden Seiten mit

0*ea 5— 9,5b 9 ve 9— Vnc

69 89

und schreibt zur Abkürzung auf der ersten Seite nur das allgemeine Glied, so kommt

„ 4. 2 Gæ‿— an) a dG— ,)b Qby— ve)e 90A V] e. 1 4..

9 0 72 Q — æxna— ,„ b— Pac„— Pnc' — 6 P 9 9.. log La, b, c, e,..

Summirt man jetzt, um alle Wurzelcombinationen zu umfassen, von a= o, b= o, c⸗= o, c= o,. bis a= 1, b= 2— 1, c=(„—= ¼)„—, C=(p— ¹) Pp=— 1,., so kommt auf der ersten Seite als allgemeines

Glied W e.

1 q+‿ ½* 2 wo sich das Zeichen auf„ erstreckt, und MI das Product der nach a, b,

c, C,.. resp. zwischen den angegebenen Grenzen zu nehmenden Summen bedeutet,

— OGx an) a 2 5—(0) b— 9Gy- n)e Q9(ho-)˙n) 6

6

Nun ist, mit Berücksichtigung von§. 7., leicht zu sehen, daſs die erste die- ser Summen 2 oder o ist, je nachdem die Congruenz ha— a,=So(mod. ²), oder was dasselbe ist, die Congruenz ν(mod. 4) Statt findet oder nicht Statt findet, daſs die zweite 2*—⸗ oder o ist, je nachdem die Congruenz h— G,=o(mod. 2*-²), oder was dasselbe ist, die Congruenz&ν[(m (mod. ²²) Statt findet oder nicht Statt findet, daſs die dritte(p— ¹1) p oder o ist, je nachdem die Congruenz hy—„=3o(mod.(p— ¹) p**¹), oder was dasselbe ist, die Congruenz&(mod. p?*) Statt findet oder nicht Statt findet, u. s. w. Es folgt hieraus, daſs WM immer verschwindet, aufser wenn man gleichzeitig;᷑ m, nach den Moduln 2˙, py, p'*,... hat, oder was das-

selbe ist, auſer wenn(mod. k), ist, in welchem Falle M= K wird. Unsere Gleichung wird daher

1 1 1 +† 42 1 9* 2—„ ²*ν 4 12 ess 4..

= 4 XO-—=--8.-eg,—Fe

K 0 0 0 log La, b, c, f,.)

615)