22 DmRMCHLET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. o.

stens eine der Wurzeln, ο, ,... imaginär ist, und es leuchtet ein, daſs die Reihen dieser Klasse einander paarweise zugeordnet sind, da die beiden

Wurzelcombinationen 1

6, G, G, G,..; 5= b,—,—,—, unter der eben ausgesprochenen Voraussetzung offenbar von einander ver- schieden sind. Wir haben jetzt das Verhalten dieser Reihen zu untersuchen, wenn man darin= 1+g setzt, und das positive g unendlich klein werden läfst. Betrachten wir zunächst diejenige Reihe, welche die erste Klasse con- stituirt, so ist klar, daſs diese als die Summe von K Partialreihen angesehen werden kann, deren jede die Form hat

1 1 1+ (2Kk+‿ m)+ℳ 8899

wo m=k und zu x relative Primzahl ist. Mithin ist die Reihe dieser Klasse nach§. 2. dem Ausdrucke

X 2+90. 112) gleich, wo() für ein unendlich kleines g endlich pleibt.

Was die Reihen der zweiten und dritten Klasse betrifft, so findet man, wenn man sich darin die Glieder so geordnet denkt, daſs die Werthe von wachsend fortschreiten und 52o setzt, für diese die Gleichung

. 1 e 8 N7.r 5—. 2 5 Gs4* a7..= F0).ſ, 255% Ia⸗ log()**,(13) 0 T

1— ᷣ

wo sich das Zeichen auf der zweiten Seite auf alle positiven ganzen Zah- len n erstreckt, welche= und zu k relative Primzahlen sind, und a, 6,*, ),.. das System der Indices für n bedeutet, und man beweist leicht, daſs die zweite Seite einen endlichen Werth hat. Man darf hierzu nur bemerken, daſs das Polynom 9“, σO n-’ den Factor 1— æ involvirt, was so- gleich erhellt, wenn man ‿ꝛ 1 setzt, wodurch dieses Polynom in das Product

(1+ ⁵)()(4..+ 9

(‿ ra,)..

übergeht, von dessen Factoren wenigstens einer verschwindet, da die Wur- zelcombination