20 DmicHLET: Becweis, da s jede unbegrenzte arihm. Progression u. S. v.

berücksichtigt, daſs das doppelte Zeichen in der zweiten dieser Congruen- zen durch die erste festgestellt wird. Wir werden die Indices, 12,, Y., 7„, .. oder a,, y, V,..., das System der Indices für die Zahl n nennen. Da die Indices, G, y, 7,... resp. 2, 25,(p— ¹) p,(p— ¹)„,.. ver⸗ schiedene Werthe erhalten können, so ist

2. 22—2(p— ¹) 52—(p— ¹) p.= k1—+)(1—5)(1—)..= K 68)

die Anzahl aller möglichen Systeme dieser Art, was mit dem bekannten Satze übereinstimmt, nach welchem K die Anzahl derjenigen Zahlen ausdrückt, welche kleiner als x und zu k relative Primzahlen sind.

§. 8.

Indem wir nun dazu übergehen, das Theorem über die arithmetische Progression in seiner ganzen Allgemeinheit zu beweisen, bemerken wir, daſs man, ohne dieser Allgemeinheit zu schaden, die Differenz k der Progression als durch s theilbar und also in der Form des vorigen§. n. III. enthalten, an- nehmen kann. Ist der Satz unter dieser Voraussetzung bewiesen, so wird er offenbar um so mehr gelten, wenn die Differenz ungerade oder nur durch 2 oder 4 theilbar ist. Es seien 6,,,,... irgend welche Wurzeln der Gleichungen

X— 2— 1 71—1 2(⁹— 1)

2—1„ 1 62— 1= o,%— 1=o, 00)P

— 1= o,— 1= 0, 6(9)

und ꝗ eine beliebige von 2, p, p,.. verschiedene Primzahl. Bildet man nun die Gleichung

1

„ 141 5 = 1+ 0*9 ,V... e ee.+.,

1— 5* GoN A.. 7

S

in welcher§1, und das System der Indices, G, y, Y,... sich auf q be- zieht und multiplicirt alle Gleichungen dieser Form, welche man erhält, wenn man für g alle von 2, p, p,... verschiedenen Primzahlen setzt, in ein- einander, so kommt, mit Berücksichtigung der oben erwähnten Eigenschaften

der Indices und der Gleichungen(9),

II 1

— 0⸗ 55 0⁰ 2...= L,(10)

1— 6—.. 1.