18 DmicHLET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S. v.

haltene Vielfache von(p— ¹) py vermindert, gleich, so wie daſs„, gerade oder ungerade ist, je nachdem(2)=+ oder- 1 ist.

II. Die Primzahl 2 verhält sich in der Theorie der primitiven Wur- zeln wesentlich anders, als die ungeraden Primzahlen, und es ist über diese Primzahl Folgendes zu bemerken, wenn wir die erste Potenz 2, welche hier nicht in Betracht kommt, aufser Acht lassen.

1) Für den Modul 2² hat man die primitive Wurzel— 1. Bezeichnet man den Index für irgend eine ungerade Zahl n mit α, so daſs also(— ¹)“=n (mod. 1), so ist,= ooder=:i, je nachdem n die Form 4+ 1 oder 4ε+₰3 hat, und man erhält den Index eines Productes, wenn man von der Summe der Indices der Factoren das gröfste darin enthaltene Vielfache von 2 ab- zieht.

2) Hat der Modul die Form 2˙, wo X=3 ist, so giebt es keine primitive Wurzel mehr, d. h. es existirt keine Zahl, für welche die Periode ihrer Po- tenzreste nach dem Divisor 2* alle ungerade Zahlen enthält, welche= 2“ sind. Man kann nur die Hälfte dieser Zahlen als solche Reste darstellen. Wählt man irgend eine Zahl der Form 8½+ oder speciell 5 zur Basis, 8o sind die nach dem Modul 2“ genommenen Reste der Potenzen

2—e.

50, 5, 5„., 5 4, alle von einander verschieden und fallen mit den Zahlen zusammen, welche die Form 4+ 1 haben und=2* sind. Hat man daher eine Zahl n der Form à+ 1, so läſst sich immer der Congruenz

56»*= n(mod. 2*)

durch einen und nur durch einen Exponenten oder Index G, genügen, wenn dieser= 22— sein soll. Hat n die Form 4α+ 3, so ist diese Congruenz un- möglich. Da aber unter dieser Voraussetzung— n die Form 4½+†1 hat, s0 wollen wir allgemein unter dem Index einer ungeraden Zahl n den völlig bestimmten Exponenten ½, verstehen, welcher= 2*“ ist und der Congruenz

6

5 ⁄= En(mod. 2*)

genügt, in welcher das obere und das untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem n die Form 4½+ 1 oder 4+ hat. Wegen dieses doppelten Zei-