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unendlich viele Primzahlen enthült. 17 wo sich die erste Summation auf alle Primzahlen der Form p+†m er- streckt, die zweite auf alle Primzahlen—, deren Quadrate, die dritte auf alle Primzahlen—, deren Cuben, u. s. w. in derselben Form enthalten sind. Denkt man sich nun g unendlich klein werdend, so wird die zweite Seite durch das Glied log Lo unendlich groſs. Es muſs also auch die erste Seite unendlich werden. Auf dieser Seite bleibt aber die Summe aller Glieder, mit Aus- schlufs des ersten, endlich, da bekanntlich 4. τ 72+ 4+.. noch end- lich ist, wenn man unter nicht, wie hier, gewisse Primzahlen, sondern alle ganzen Zahlen, welche— 1 sind, versteht. Folglich muſs die Reihe über jede positive Grenze hinaus wachsen, sie mufs mithin unendlich viele Glieder enthalten, d. h. es giebt unendlich viele Primzahlen der Form up m, w. z. b. w.

§. 7.

Um den im Vorhergehenden geführten Beweis auf eine arithmetische Reihe auszudehnen, deren Differenz irgend eine zusammengesetzte Zahl ist, sind einige Sätze aus der Theorie der Potenzreste erforderlich, die wir hier kurz zusammenstellen wollen, um uns in der Folge leichter darauf berufen zu können. Die Begründung dieser Resultate kann man in den Disꝗq. arith. sect. III. nachsehen, wo dieser Gegenstand ausführlich behandelt ist. I. Die Existenz von primitiven Wurzeln ist nicht auf ungerade Prim- zahlen p beschränkt, sondern findet auch noch für irgend eine Potenz p' einer solchen Statt. Ist c eine primitive Wurzel für den Modul p', so sind die nach diesem genommenen Reste der Potenzen

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alle von einander verschieden und fallen mit der Reihe derjenigen Zahlen zu- sammen, welche=p' und zu p' relative Primzahlen sind. Hat man nun irgend eine nicht durch p theilbare Zahl n, so ist der Exponent.(p— ¹), welcher der Congruenz

den(mod. p*)

genügt, völlig bestimmt und soll der Index von n heiſsen. Von solchen In- dices gelten wieder die leicht zu beweisenden Sätze, daſs der Index eines Productes der Summe der Indices der Factoren, um das gröſste darin ent-