16 DmRcHIET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. S..

jeden endlichen Werth von g in die erste der in§. 1. unterschiedenen Klas- sen gehört und also eine völlig bestimmte Summe hat, so ist nun der Grenz- werth vo von v durch die Gleichungen

09.(1) cos vo= sin vo===. W2)+ X2)'*VTG X0 mit der Bedingung verbunden, daſs die Differenz V— v, abgesehen vom Zeichen,=y sein muſs, vollständig bestimmt.

§. 6.

Wir sind jetzt im Stande zu beweisen, daſs jede arithmetische Reihe, deren Differenz p ist und deren erstes Glied nicht durch p theilbar ist, un- endlich viele Primzahlen enthält, oder mit anderen Worten, daſs es unendlich viele Primzahlen von der Form um giebt, wo eine unbestimmte ganze Zahl und m eine der Zahlen 1, 2, 3,„— 1 bedeutet. Denkt man sich die in der Gleichung(7) enthaltenen Gleichungen, so wie sie der Reihe nach den Wurzeln 1, 9,*,. 2*⸗,(4) entsprechen, mit 1, Q*, Q*,.. Q.O, multiplicirt und addirt, so erhält man auf der ersten Seite

26 A. Q(O= Ye)... 9200— 2 ²G—) 71☛ + 4 eſ 4+ Jm+ 2.+ 9200—2 2)(29— Jm 9)

4260+ Q 3)— Jm+ 9²)— Tn)..+. 900— 2) 62 2e)) er⸗

2+2 ⁵

3+3 5 9

³⸗

wo sich die Summationen auf beziehen und den Index von ꝗ bezeichnet. Nun ist aber

„———— 1 4.O0. Q22)+ 90 2) Gy e)= o

aufser wenn hy—“= O0(mod.„— ¹) ist, in welchem Falle diese Summe

= p— 1 ist. Diese Congruenz ist aber gleichbedeutend mit ☛ m(mod. p). Man hat daher die Gleichung

1 2 42r 4* 273.,

==(log Lo †Q*log L, HG r. log L... A, OrJ 10 L, ⸗),