14 DmicHEET: Beweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. o.

1 1 1 (p— ¹)( r 4 12 7²+ 42 7+— log(L‿½ 42.ο L* 2),

wo sich die erste, zweite,.. Summation resp. auf die Werthe von 9 be- zieht, deren erste, zweite,.. Potenzen in der Form p+ enthalten sind. Da die erste Seite reell ist, so folgt, daſs das Product unter dem Zeichen log positiv ist, was auch sonst klar ist, und daſs für den Logarithmus der arith- metische mit keiner Vieldeutigkeit behaftete Werth zu nehmen ist. Die Reihe auf der ersten Seite bleibt stets positiv, und wir werden nun zeigen, dafs die zweite, in Widerspruch hiermit, für ein unendlich kleines g den Werth— oo haben würde, wenn man die Grenze für L, als verschwindend annehmen wollte. Die zweite Seite läfst sich in die Form bringen

log L,+ log Lei+ log L. L,+ l0g L. L, 5+.., wo log Lo nach(5) dem Ausdruck „—1 1— 1„—1 1(— 90))= los(+)+log(+ 99))

gleich ist, dessen zweites Glied sich der endlichen Grenze log

nähert; H

eben so bleibt log Lei endlich, da der Grenzwerth von Le=t nach§. 4.

von o verschieden ist. Irgend einer der übrigen Logarithmen, wie log. L, Le

ist nach§. 3., log(A*(i+ 9)+(1+ 9)), welcher Ausdruck, wenn Lo und

also auch L,-n die Null zur Grenze hätte, so daſs gleichzeitig T(1)=o, 4⁴(1)= 0o wäre, in

1(κιάναο 4 Aeg)))=— 2 log( log(M/*+ ½g)+*i-†))

übergehen würde. Vereinigt man das Glied— 2 log(+) mit dem ersten Gliede von log Lo, so bleibt— log(+), welcher Werth für ein unendlich kleines g in— 00 übergeht, und es ist klar, daſs dieser unendlich groſse negative Werth nicht etwa durch log(Mε+‿ ³)+ X%*(1+ g)) aufgehoben werden kann, denn dieser Ausdruck bleibt entweder endlich oder wird selbst — oo, wenn nämlich gleichzeitig N/61)= o,(4)= o wäre. Eben so ein- leuchtend ist, daſs, wenn man aufser L, und L,-,, noch ein anderes oder mehrere andere Paare zusammengehöriger E als verschwindend betrachten wollte, der Widerspruch nur noch verstärkt würde. Es ist somit bewiesen, dafſs die einem unendlich klein werdenden 9 entsprechende Grenze für Lo