12 DmICHLET: Becveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..

22— 357

nX 1 1 22— 1 IIsin—

———— e*) 10 2 2(22 7 5 Hin=

wo sich das Multiplicationszeichen auf alle a oder 5 erstreckt.

Bemerkt man jetzt, daſs unter der hier gemachten Annahme von „vF=—:, nach bekannten Formeln(¹),(⸗.) im ersteren Falle p 7—:,

im letzteren Vp ist, so kommt respective

5)*= Se s=e, 2E)*= Fr bs Hae

Für den Fall, wo p= 44+s, sieht man sogleich, daſs 26*) von

Null verschieden ist, indem a+† 25b=„—— ungerade ist une mithin

nicht a= b sein kann. Um dasselbe für 2= A4u+ zu beweisen, nehme man die aus der Kreistheilung bekannten Gleichungen(²) zu Hülfe,

22—

)= 1— Zyp, 211(* ‧+- 6 1-—1)= I Lp,

2 a71

27(-

wo F und Z Polynome mit ganzen Coéfficienten bedeuten. Setzt man in diesen Gleichungen und der daraus folgenden

-— 1 2 4— F2 pZ?,

᷑—1 —= 1, und nennt g und ä die ganzen Zahlen, welchen F und ZI gleich wer- den, so kommt, nach einigen leichten Reductionen, 2*

* Hsin= g—— hWp, 25 I sin 2= gℳ hp, g— ph== 4p.

Aus der letzten Gleichung folgt, daſs g durch p theilbar ist. Setzt man da- her g= p, und dividirt die beiden ersten durch einander, so erhält man

IIsin— KxXVp+h„2.— 7—— IIsin ae, ⸗ 36—

Nach der zweiten dieser Gleichungen kann R nicht Null sein, folglich sind die beiden Seiten der ersten von der Einheit verschieden, woraus so-

(1) Comment. Gotting. rec. Vol. I. oder die Abhandlungen unserer Akademie, Jahrg. 1835.

( 2) Disꝗq. arith. art. 357.