n= bi n⸗.

der Rreistheilm, n.

Rfübren. Esütunll

Setut man suttgnit b..—, Gie vendit (mod. p),„2.h für J,, Was Wegel 42 b

unendlich viele Primzahlen enthält. 11

Obgleich dieser Ausdruck für X*εσφ2, sehr einfach ist, so kann man doch im Allgemeinen nicht daraus schlieſsen, dals Xoνα᷑ einen von Null verschiedenen Werth hat. Es fehlt noch an gehörigen Principien zur Fest- stellung der Bedingungen, unter denen transcendente Verbindungen, welche unbestimmte ganze Zahlen enthalten, verschwinden können. Die verlangte Nachweisung gelingt jedoch für den besonderen Fall, wo=— 1. Für die imaginären Werthe von w werden wir im folgenden§ ein anderes Ver- fahren angeben, welches aber auf den genannten besonderen Fall nicht an- wendbar ist. Unter der Voraussetzung, daſs=— 1, erbält man, mit Be- rücksichtigung, daſs„, gerade oder ungerade ist, je nachdem(E)=+ 1 oder=—:, und daſs folglich(— ¹)=(2) ist, So wie daſs(— ¹)*=(),

als Grenze von Le=t für ein unendlich klein werdendes g 2

-(eJ= 3/.) 20)(o6n e). rd- B)n-)

.. 22. oder einfacher, da zwischen den Grenzen m= 1, m= p— 1,*()= o ist,

* /⁵)—=— 9/( 1—9 2)(log sin 2)— m)= ¹).

Es sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Primzahl p die Form 4½+‿3 oder 44+† 1 hat. Im ersteren Falle ist für zwei Werthe, wie m und p—m, die sich zu p ergänzen,

— 2 772 77 3— mm) 7 (*)——(2*) und sin—= sin L. p p 2 2

Mithin verschwindet der reelle Theil der Summe, und man erhält, wenn man mit a die Werthe von m bezeichnet, für welche 4 2)= ¹, 1, und mit 5 diejenigen, für welche(5)==—:, oder mit anderen Worten, wenn a und 5 die Quadratreste und Nahtquadratreste von p bedeuten, welche kleiner als

p sind, 9 i *()*=CEe= Her

Ist p= 44L+ 1, 80 verschwindet der imaginäre Theil der Summe, weil als- 1G)=(*), und man erhält