10 DmiCHIET: Becweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s. cv. 2—

Irgend ein Linearfactor des Nenners ν— 1 ist—„wo m aus der

JAa)

Reihe o, 1, 2,. p— ¹ zu nehmen ist. Zerlegt man=—2

in Partialbrüche,

— 1

so wird nach den bekannten Formeln der Zähler des Bruchs —1

1 2m τ—

4ℳ⸗ Le t

durch den Ausdruck A) gegeben, wo αz zu setzen ist. Man pæ

2mE f⸗/ hat also A,=— J/.(2* nr). Substituirt man diesen Werth und bemerkt, 7

daſs A= 0 ist, so erhält man 2m 1— 1„ 1 1 222/—/ dar „* P — 72 P 2/ Zaan1 0—e*

wo sich das Summenzeichen auf der zweiten Seite von m= 1 bism= p— 1

erstreckt. 222e Die Function(—) jst die bekannte in der Kreistheilung vor-

kommende und läſst sich leicht auf(* 1⸗i) Lurückführen. Es ist nämlich

2ma 1— 221/— f 7 ken)— o 6 5 1

wo sich das Zeichen von g= bis g= p- erstreckt. Setzt man statt gin den jedesmaligen Rest h nach dem Modul p, so sind ¹, 2,.— ¹, die verschie- denen Werthe von h, und man hat, wegen gm=h(mod. p), N.= Y.— 7„ (mod. p— ¹). Schreibt man also zugleich—„ für, was Wegen der Gleichung ν‿— 1= erxlaubt ist, so kommt

2m— 224/— 2 7†— f(e* 3 1)=e e nI 1= G v f(æ*). Die obige Gleichung wird so 2 /—— 1 8 4„ 1 1 22 /N——&, r *½*————( P) 3 Im O 8 72 P 4 6 2⁰. 2m 11

Nun ist für einen positiven Bruch

A.=—= 10g(2 sin r)(1— 2c)— ¹, folglich

—

22—— m' 7 5— * 1.== f(e*)*.(og(2sin ²*)*(I=¹).

77