8 DRiCHLET: Becwveis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..

die Glieder einander so folgend zu denken, daſs die Werthe von n wach- send fortschreiten. Es ist nämlich unter dieser Voraussetzung 2oνρς eine Function von s, welche für alle positiven Werthe von s stetig und endlich pleibt, so dafs also namentlich die Grenze, der sich der Werth der Reihe nähert, wenn man darin= 1+g setzt und g unendlich klein werden läſst, und welche von der Ordnung der Glieder unabhängig ist, durch 2ονσπν aus- gedrückt ist, was bei einer andern Ordnung nicht nothwendig der Fall wäre, indem für eine solche 2ονσα von Xaννπσσ um eine endliche Gröſse verschie- den sein oder auch gar keinen Werth haben kann. Um die eben ausgespro- chene Behauptung zu beweisen, bezeichne man mit A irgend eine ganze po- sitive Zahl und drücke die Summe der U'p— ¹) ersten Glieder der Reihe mit Hülfe der schon oben gebrauchten für jedes positive s gültigen Formel

Ie. L.(1) d= u

durch ein bestimmtes Integral aus. Man erhält so für diese Summe

.ſ.; 1Aay log.—(0*ν☚— 65. 4 440) l0 8—()⸗e.

wo man zur Abkürzung gesetzt hat

N„ ¹

F)= a0e Ao,. r*¹.

Ist nun, wie wir voraussetzen, nicht= 1, so ist das Polynom= f(æ) durch 1— x theilbar, denn man hat

f(i)= u. 2 4. P ½1 ſk= 1++.+**ü=o.

Befreit man daher Zähler und Nenner des Bruchs unter dem Integralzeichen von dem gemeinschaftlichen Factor 1— ꝙ, so wird derselbe

k+. u—1 1+sr a P a- 1*

wo t und u Polynome mit reellen Coéfficienten bedeuten. Bezeichnen T und U die gröfſsten Zahlenwerthe vont und u zwischen æ= o und æ= 1, so sind offenbar der reelle und imaginäre Theil des zweiten Integrals respective

kleiner als 7* 1 8§— 1 1 7T 16.. a*9 log G) gu e(