6 DMMrCHLET: Becwvweis, daſs jede unbegrenzte arithm. Progression u. s..

Statt finden, aber zur Feststellung dieses Werthes keinen wesentlichen Nut- zen mehr gewähren. Man müſste nämlich, wenn—,, q“,... die der an- genommenen Ordnung entsprechenden Werthe von † sind, die Reihe L als eine so zu ordnende vielfache Reihe betrachten, daſs man zuerst diejenigen Glieder zu nehmen hätte, in denen n nur den Primfactor— enthält, dann diejenigen der übrigen, in denen n keine anderen Primfactoren als, ent- hält, u. s. W. Durch die Nothwendigkeit, den Gliedern diese Ordnung zu geben, würde die Summation der Reihe eben so schwierig, als es die Unter- suchung des Productes selbst ist, vor welchem die Reihe nur dann hinsicht- lich der Einfachheit etwas voraus hat, wenn die Ordnung ihrer Glieder will- kührlich ist, oder sich wenigstens nicht nach den Primfactoren in n richtet.

S§. 2.

Setzt man s= 1+ 9, so pleibt die Gleichung(3) gültig, wie klein man auch die positive Gröfse g annehme. Wir wollen nun untersuchen, in wel- cher Art sich die darin enthaltene Reihe L ändert, wenn man g unendlich klein werden läfst. Das Verhalten der Reihe ist in dieser Beziehung ein ganz verschiedenes, je nachdem der positiven Einheit gleich ist oder irgend ei- nen andern Werth hat. Um mit dem ersten Falle oder mit der Untersuchung von L, zu beginnen, betrachten wir die Summe

§— 1 1 1 r τπ T&πm*.:

in welcher eine positive Constante bezeichnet. Schreibt man in der be-

kannten Formel . a 10(*) ga Tre). für k der Reihe nach k, K+ 1, K+ 2,... und addirt, so kommt 1 1 2 /1 al:

Addirt man irt zugleich 1.== 1169 ,4 1l9g.(4. ir man ung subtrahirt zugleich 6fae F/ log(aa, so geht diese Gleichung über in

§= 4+ e.,(—)( e) Lz o0g( log(*) 9*,