446 NoTEs DUTRADUCTEUR.

Si maintenant a, 6,, ₰ sont des nombres pour lesquels F se change en 7. on trouvera par le n* 159, Pour les nombres, G,)%, ⁸˙, qui donnent une trans- formation quelconque semblable, ma at—(Ba+ Cy)u, me= t—(8+ CO)u,

„yt+(Aa+ Bp)u, m=+(A+ B0) u; or il faut observer qu'ici les valeurs de a, G,, 4' sont nécessairement entières, puisque a, 6,)“, Net p, 9, r, le sont.

Si l'on compare les valeurs de 7' et de U, que l'auteur déduit(no 199), avec celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu'elles sont identiques, mutatis mutandis.

Mais si F et n'étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces for- mules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l'on n'admette des valeurs fractionnaires de t et u dans lesquelles le dénominateur serait le quo- tient du plus grand commun diviseur des nombres a, 25,%, divisé par le plus grand commun diviseur des nombres A, 25, C. Si nous nommons m’' le plus

1

l

7 m)

grand commun diviseur des nombres a, 25, c, et que nous fassions—= α,

t 2a. on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules et=, à la place G

de tet u, des formules semblables dans lesquelles, à la place de m, on doit mettre m, et ouù t et u seront des nombres qui satisfassent à l'équation— Dui=m, comme il résulte de l'analyse de l'auteur. Nous insistons peu sur ce second cas,

qui est d'une moins grande utilité. Note relative au no 164.

On peut encore faire cette recherche d'une maniere qui nous parait en quelque sorte plus directe. Nous supposerons qu'on ait démontré, comme l'auteur, les relations qui existent entre, 6,), 4,*, 6,), 4, et qui sont, en faisant usage de sa notation, a+ d= o, e+ e= O, be— ad= e¹, ou α+‿ bo= en.

Cela posé, soit(F, G, H) la forme ambigué cherchée, que nous désignerons 2. par; faisons= k, k sera un nombre entier. Or puisque F doit se changer

en, F renfermera proprement et improprement, et si la transformation Ppropre est æ= mt+ nu, y= pt+ qu,

on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre avec une transformation impropre de ꝙ en elle-méme. Alors si% se change en F par la transformation propre

t= mr+ ny, u= pa+); en passant d'abord de F à%, et ensuite de àA F', on obtiendra deux transfor- mations de F en f, l'une propre et l'autre impropre(ne 159), et qui devront coincider avec les transformations données.