RECHERCHES

SECTION SECONDE.

Des Congruenoges du premier degré.

13. THafoRnkM. Le produit de deuæ nombres positifs plus pe-

tits qu'un nombre premier donné, ne peut étre divisé par ce nombre premier.

Soit p le nombre premier et a Tpet 0; je dis qu'’on ne pourra trouver aucun nombre positif 5, plus petit que p, qui rende

25= o(module 9„).

En effet, s'il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres 5, c,, ete, tous plus petits que p, ensorte qu'on ait ab= o, ao= o, etc.,(mod. p), soit 5 le plus petit de tous, desorte qu'on n'en puisse supposer un plus petit que 5, on aura évidem- ment 5 13 car si 5=r, on aurait ab=a pet partant non di- visible par p. Or p comme nombre premier ne peut être divisé par 5, mais tombera entre deux multiples de 5, mb et(m+. 1) 5. Soit p— mb= V, U sera positif et= 5. Or nous avons supposé ab= 0 (mod. p), on aura donc mab= o; et retranchant de ap= o, on aura a(p— mb)= a2b= 0; 4 ouc 5 devrait être mis au rang

des nombres 5, 0, d, etc., et serait plus petit que le plus petit de tous, ce qui est contre la supposition.

14. Sli aulcun des deuæ nombres a et b n'est divisible par un nombre premier p, le produit ab ne le sera pas non plus.

Soient a et les résidus minima positifs des nombres a et 5, s ui- vant le module p, aucun d'eux ne sera nul par hypothèse. Or si

l'on avait ab= o, comme a5b= 4, on aurait jo, ce qui serait contraire au théorème précédent.

A* 8 42—†——

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