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18 LEIEUNE-DIRICHLET käber eine neue Methode

b in den Grenzen des Integrals enthaltenen Constanten ausgedrückt werden, welche sich auf die relative Lage der beiden Massen beziehen. Das sechs- fache Integral läſst sich allgemein auf ein vierfaches zurückführen(¹), wel- ches sich über die Oberflächen beider Körper erstreckt, wenn man gewisse einfache von der Funktion FC9) abhängige Integrale als bekannt voraussetzt. Eine weitere Reduktion des vierfachen Integrals wird nur für Körper von besonderer Gestalt und für ein bestimmtes Gesetz der Elementarwirkung Statt finden können; aber selbst auf solche specielle Fälle, wenn sie nicht zu den allereinfachsten gehören, wie dies z. B. von der Annahme gilt, wo eine der Massen als kugelförmig betrachtet wird, werden die bekannten Integrationsmethoden sehr schwer anwendbar sein. Ein Fall, für den die gewöhnlichen Mittel wenig Erfolg zu versprechen scheinen, ist der zweier Ellipsoide, in ganz beliebiger Lage, deren Elemente sich nach dem im vo- rigen Paragraphen zu Grunde gelegten Gesetze anziehen. Wendet man hin- gegen auf dieses Problem unsere Methode an, so findet man ohne Schwie- rigkeit, daſs das sechsfache Integral auf ein doppeltes zurückgeführt werden kann, welches sehr verschiedenartiger Formen fähig ist, welche theils von den in den ursprünglichen Ausdruck eingeführten Hülfsintegralen, theils auch von der Wahl der Coordinaten abhängen, durch welche man sich die Ele- mente do und do' ausgedrückt denkt. Die einfachste und am meisten sym- metrische Form des Endresultats scheint die zu sein, welche aus der Annahme eines geeigneten Systems schiefwinkliger Coordinaten hervorgeht. Nach einem bekannten Satze, welcher von Monge herrührt und zuerst von Chasles bewiesen worden ist(2), haben zwei Flächen zweiten Grades mit Mittel- punkten immer ein der Richtung nach gemeinsames System von conjugir- ten Durchmessern. Nimmt man die Axen diesen Durchmessern parallel und legt zugleich den Anfangspunkt in die Mitte der Geraden, welche beide Mittelpunkte verbindet, so sind die Gleichungen für die Ellipsoide

& P ax* ² 5 2 z+eN ² A— aX ²— 5 2 2— eN 2 )re=(— GE) S)=“

1. 7 4 4. 6 27 4„ () Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii, auct. C. F. Gauss, art. 6 es Sec.

(2) Correspondance sur'Lcole polytechnique, Vol. II. pag. 328.