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4 hRECHERGCHES

Jonne à ⁊ des valeurs congrues, suivant un certain module, les paleurs résultantes pour X, le seront aussi.

Soient fet les valeurs congrues de æ par les articles précédens fe Æ= g et Age= Ag'; de mème Bfi= Bg', etc.: donc

Af †‿ Bf+ Cfe Pete.= ũ+ B*† Cg+ etc.

Au reste on conçoit aisément que ce théorème peut s'étendre à des fonctions de plusieurs indéterminées.

10. Si donc on substitue à la place de+ tous les nombres entiers consécutifs, et que l'on cherche les résidus minima des valeurs de X, ils formeront une suite dans laquelle, après un intervalle de m termes (m étant le module), les mêmes termes se représenteront; c'est-à- dire que cette suite sera formée d'une période de m termes répétée indéfiniment.

Soit par exemple: X=—- 8+. 6et m= 5, pour x= o, 1, 2, 3, etc. les valeurs de X donnent pour résidus minima positifs: 1, 4, 3, 4, 3, 1, 4, etc., ouù les cinq paemiers 1, 4, 3, 4, 5 se répètent in- définiment; et si l'on continue la série en sens contraire, c'est-à- dire, si l'on donne à x des valeurs négatives, la mème période reparait en sens inverse; d'ouù il suit que la série ne renferme pas d'autres termes que ceux qui composent la période.

11, Donc dans cet exemple, X ne peut devenir= o, ni= 2, (mod. 5), et encore moins- 0ou= 2, d'ot il swit que lee&quations &— 8=+ 6= O et ‿— 8æ+. 4= o n'ont point de racines entières, et parconséquent point de racines rationnelles. On voit en général que lorsque X est de la forme ꝙ ‿ Aa Bas etc.+ N; A, B, C, etc. étant entiers, et z entier positif, l'équation X=/ o, (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n'aura aucune racine rationnelle, s'il arrive que pour un certain module la congruence X= o ne soit pas satisfaite; mais ce caractère qui se présente ici de lui-même, sera développé davantage dans la section VIII. On peut au moins se former par cette esquisse une idée de l'utilité de nos recherches. b

12. Plusieurs des théorèmes que l'on a coutume d'exposer dans

les traités d'arithmétique, s'appuient sur ceux que nous avons pré-

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