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2 KRKkECHERCHES peuvent sans peine se démontrer par-là; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect.

Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe=, en y joignant, lorsqu'il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses; ainsi— 16=9(mod. 5),— 7=15 (mod. 11)(*).

3. THEOREME. Soient m nombres entiers successifs a, a. 1, a+ 2, a †+ m— 1 et un autre A, un des premiers sera congrie aueo A, suivant le module m, et il nq en aura quu‿din.

1— A

En effet, si est entier, on aura a= A; s'il est fractionnaire,

777. soit K le nombre entier, immédiatement plus grand ou plus petit, 2— A

suivant que sera positif ou négatif, en ne faisant point d'at-

tention au signe, A-† m tombera nécessairement entre a et a1m;

ce sera donc le nombre cherché. Or il est évident que les quotiens

‧— A a+ 1— A 2

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‚etc., sont compris entre K-‧— et K 1, donc un seul d'entr'eux peut éêtre entier.

4. Il suit de là que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite o, 1, 2,(m— 1), que dans celle-ci O,— 1,— 2,—(m— 1); nous les appellerons résidus minima; et il est clair qu'à moins que 0 ne soit résidu, il y en aura toujours deux, l'un positif, l'autre né-

gatif. S'ils sont inégaux, l'nn d'eux sera==. s'ils sont égaux, cha- 71. 1 2 9 8 d 0 9 cun d'eux=— sans avoir égard au signe; d'où il suit qu'un nombre

quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, et que nous appellerons résidu minimum absola.

Par exemple— 15 suivant le module 5, a pour résidu minimum

() Nous avons adopté ce signe à cause de la grande analogie qui existe entre Tégalité et la congruence. C'est pour la même raison que Legendre, dans des mémoires que nous aurons souyent occasion de citer, a employé le signe meme de Pégalité, pour désigner la congruence; nous en avons préféré un autre, pour pré- venir toute ambiguité.