1 Nacl Äh. ch in ae lührten J.

) in der B. Veise ihen

à0. sin B3.

den fragli lexen. Se 19, d

Bei derselben Grösse von„,„, d wird aber

l

XO. sin A. cos B. cos C+ X“. sin B. cos A. cos C+ x“. sin C. cos A. cos B X.. 3 v sin A. cos B. cos C+ sin B. cos A. cos C+ sin C. cos A. cos B

XO. sin A. cos B. cos C+ X". sin B. cos A. cos C+ X“. sin C. cos A. cos B sin A. sin B. sin C

—

= X“. cot B. cot C+† XÖ. cot A. cot C+ X“. cot A. cot B. vy= y“. cot B. cot C+ y“. cot A. cot D+ y“ cot A. cot B.

Dasich nun sehr leicht nachweisen lässt, dass X y die Coordinatenwerthe für den Mittelpunkt des um das Dreieck beschriebenen Kreises,„X.„y aber die Coordinatenwerthe des Höhendurch- schnitts sind, so sehen wir, dass O“ in den Höhendurchschnitt übergeht, wenn O“ der Mit- telpunkt des äussern Kreises wird. Bestimmen wir die Grösse der Winkel 9,„, so, dass O“ der Höhendurchschnitt wird, so geht denn O“ in den Mittelpunkt des äussern Kreises über.

Setzen wir nämlich 6=== R, so sehen wir, dass 1 X sin A. cos B. cos C+ x“ sin B. cos A. cos C+ X“. sin C. cos A. cos B 1 sin A. cos B. cos C+ sin B. cos A. cos C+ sin C. cos A. cos B = X. cot. B. cot C+ X. cot A. cot C † X"“. cot A. cot B. 1= X. sin A. cos A+ X. sin B. cos B+ X sin C. cos C vv sin A. cos A+ sin B. cosB+ sin C. cos G 2

— 5 X—— X.—— sin B. sin C sin A. sin C sin A. sin B

G cos A„Cos B cos C —2

Dass aber diese beiden Punkte, der Höhendurchschnitt und der Mittelpunkt des äussern Kreises, die Eigenschaften haben, welche nach unsern Bestimmungen Gegenpunkten zukom- men, ist eine bekannte Sache. Es ist somit klar, dass die Punkte O' und O“ die Beziehung von Gegenpunkten haben.

Wir haben im Vorhergehenden geschen, welche Grösse die Winkel 5,, d haben müs- sen, wenn O“ der Mittelpunkt des äussern oder innern Kreises, oder der Höhendurchschnitt werden soll, untersuchen wir uun, unter welchen Bedingungen O“ der Schwerpunkt des Drei- ecks wird. Diese Bedingungen sind offenbar zunächst in folgenden Gleichungen gegeben

sin A. sin ⁶. sin(B+)). sin(CX)= sin B. siny. sin(A+§). sin(C+)„ sin A. sin. sin(B). sin(CX 0) sin C. sin. sin(A. 5). sin(B p),

das heisst

1) sin A. sin. sin(B+„)= sinB. sin. sin(A+ S), 2) sin A.. sin*.. sin(Cℳ 0) sin C. sin d. sin(A+ S),

3) sin B. sinp. sin(6+. 6)= sine. sinG sin(B+) ⸗ woraus dann folgt

cot A cot= cotB+ cot/= cot C+ cot d.