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im umgekehrten Verhältniss stehen, so bilden die Geraden, die von beiden Punkten nach der- selben FEcke des Dreiecks gezogen werden, mit den beiden Dreiecksseiten, die sich in jener Ecke sclmeiden, gleiche Winkel. Wir wollen nun zwei Punkte, welche die angeführten Ei- genschaften haben, Gegenpunkte nennen.

Wir kehren jetzt zu unsern Punkten O“ und O“ zurück und zeigen, dass sie in der Be- ziehung von Gegenpunkten zu einander stehen. Wir können uns davon in doppelter Weise über- zeugen. Einmal nämlich haben wir

sin CAO“ sin G. sin(B—„) sin BA07 siny. sin(C—)* b sin Ca0 siny. Sin(C— b sin BA0⸗ Sin J. sin(B— p) b Also sin CA0Y: sin BA407/= sin BA0“: sin CA0,

sin CAOY: sin(BAC— CAOY)= sin BA0“: sin(BAC— BA00 sin CAOY: sin BAC. cos CAO0— cos BAC. sin CA0= sin BA0:sin BAC. cos BA0— cos BAC. sin B40% woraus sich ergibt sin BAC. cot CAOv— cos BAC= sin BAC: cot BA0— cos BAC CA0= B40⸗

also O' und Ov Gegenpunkte.

Dasselbe können wir aber auch aus der Bestimmung der Coordinaten der beiden fraglichen Punkte ableiten, wenn wir nämlich den Winkeln 6,, bestimmte Werthe beilegen. Setzen wir zuerst ⁶½= R— A, 7= R— B,= R— C, so wird, weun die Winkel 6, 7, d nach aussen an die Dreiecksseciten angelegt werden

X sin A. cos A+ X“. sin B. cosB+ xX. sin C. cos C X=—. 4 1 sin A. cos A+ sin B cosB+ sin C. cos C*

xX sin A. cos A+ X“ sin B. cos B+ X“sin C. cos C ½(sin 24 † sin 2B+ sin 20

2(X sin A. cos A+ X sin B cos B+† Xx“ sin C. cos C)

4 sin A. sin B. sin C 2 — 46( cos A Aa. Cosl. vu. cos C 2 sin B. sin C sin A. sin C sin A. sin B./)

X. sin 2A4+ X“. sin 2B+ X“. sin 20 4 sin A. sin B. sin C 2

Ebenso bekommen wir

cos A cos B cos C — 1—— 4. J 36 sin B. sin C 4. v Sra aiu)

1 sin A. sin C sin A.