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Hieraus aber ergibt sich nun, dass man auf unendlich viele Arten die Ternion von Gera- den erhalten kann, welche die fragliche Eigenschaft haben, nämlich sich im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden, da für diese Construction einer der Winkel§, 7, 0 ganz beliebig ange- nommen werden kann.

Wenn die Gleichungen I, 2, 3, zusammen den Punkt O0“ die Eigenschaften des Schwer- punkts vindicieren, so bestimmt jede einzeln, indem wir ihr auf die einfachste Art zu genügen suchen, einen Punkt für sich, an welchem sich ebenfalls die Haupteigenschaften des Schwer- punktes nicht verkennen lassen. Betrachten wir die Gleichung 1), und schreiben sie so

sin A. sinß. sin(B) sin B. siny. sin(A+ 9)

so geschieht dieser Gleichung offenbar Genüge, wenn man 6= B, 7= A setzt. Zieht man also durch die Ecken A und B des gegebenen Dreiecks Parallelen mit den Gegenseiten, so bestimmen diese beiden Linien durch ihren Durchschnitt einen Punkt, welcher seine Verwandt- schaft mit dem Schwerpunkt des Dreiecks sehr leicht erkennen lässt. Denn verbindet man die Ecke C mit demselben, so geht diese Verbindungslinie offenbar durch den Mittelpunkt der Ge- genseite von C, also liegt jener Punkt wenigstens mit einer Ecke des gegebenen Dreiecks und dem Mittelpunkt ihrer Gegenseite in gerader Linie. Auch findet sich zwischen untern und obern Abschnitt jener Verbindungslinie das bekannte Verhältniss 1: 2. Wir dürfen daher wohl die- sen Punkt ebenfalls als einen Schwerpunkt des Dreiecks betrachten, und ebenso jeden der bei- den andern, welche sich durch die Gleichungen 2, und 3, in ähnlicher Weise bestimmen lassen. Da die drei in Rede stehenden Punkte immer ausserhalb des zugehörigen Dreiecks liegen, so können sie mit Recht seine äussern Schwerpunkte genannt werden. Die Analogie der vier Schwerpunkte und der Mittelpunkte der vier Berührungskreise eines Dreiecks liegt zu nahe, als dass erst darauf aufmerksam gemacht zu werden brauchte. In der That erscheinen beide Quaternionen von Punkten als specielle Fälle von einer allgemeinen Beziehung, welche sich bei der Betrachtung der Transversalen herausstellt.

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