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Leitetua aus J mll

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Wenn die Winkel 5, y, d nicht nach innen, sondern nach aussen an die Dreiecksseiten angelegt werden, so ändert sich in den Gleichungen I—VI nichts weiter als das Zeichen der rechten Seite. Es wird nämlich aus I

cosa„ cos e A n ei(2): aus IV Ae LSGO, LSs sin d sin(C+ ⁶)

In derselben Weise ändern sich die übrigen Gleichungen. Dass aber dieser Zeichen- wechsel keine Aenderung in der Sache herbeiführt, zeigt eine ganz oberflächliche Betrachtung.

Bei näherer Betrachtung der Gleichungen—VI erkennt man, dass es ausser der ersten Ternion von Linien, nämlich AA“, BB“, CC“, noch vier andere giebt, für welche dieselbe Ei- genschaft statt findet, dass sie einen gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt haben. Die erste dieser Ternionen erhält man, wenn man A mit dem Durchschnittspunkt von BA“ und CA“, B mit dem Durchschnittspunkt von CB'und AC“ C mit dem Durchschnittspunkt von AB/ und BC“ verbindet; die zweite Ternion, wenn man B mit dem Durchschnitt von AB’' und(B“ C mit dem Durchschnitt von BA“ und AC“, A mit dem Durchschnitt von BC' und CA“ ver- bindet; die dritte Ternion, wenn man C mit dem Durchschnitt von AC und BC“, A mit dem Durchschnitt von BA’ und CB’ und B mit dem Durchschnitt von AB’ und CA“ verbindet; die vierte Ternion endlich, wenn man A mit dem Durchschnittspunkt von BC“ und CB B mit dem Durchschnittspunkt von AC' und CA“ und C mit dem Durchschnittspunkt von AB und BA“ verbindet.

Nennen wir die Durchschnittspunkte der fünf verschiedenen Ternionen, von denen wir eben gesprochen, O, O“, O“, Ow. Ov.

Wir wollen nun die Coordinaten der eben genannten Punkte bestimmen, und machen dazu die Annahme, dass X X y", X“y“ die Coordinaten für die Ecken A, B, C des gegebenen Dreiecks sind. Entwickeln wir zunächst die Coordinaten des Punktes O“, oder des gemein- schaftlichen Durchschnittspunktes von AA“, BB“, CC“ und bezeichnen sie mit X y, so erhal- ten wir

X. sinA. sing. sin(B-p. sin(C-G) X sinB. siny. sin(A-S).sin(C-) X“ sin C. sind. sin(A-S)sin(B-„) 1* sin A. sing. sin(B-p). sin(C-O) † sinB. siny. sin(A-5). sin(C-0) TsinC. sinò: sin(A-9) sin(B-p)

y sinA. sins. sin(B-) sin(C-G) 4 y“. sinß. siny sin(A-S).sin(C-G) † y“.sin C. sind. sin(A-S). sin(B-p) 1= sinA. sinß. sin B-y. sin(C-O)+ sin B. sin„. sin(A-S). sin(C-)+ sinC. sind. sin(A-6) sin(B-p)

Aus diesen Coordinaten für O' erhalten wir durch ganz einfache Veränderungen die Coor- dinaten der übrigen vier Punkte. Setzen wir nämlich in den gefundenen Coordinatenformeln für O“über all sin(A— 5), wo vir sin finden, und umgekehrt sin, wo dort sin(A— 9) steht, dann erhalten wir sofort die Coordinaten für O“. Für O“ und Ow gehen sie aus denen von O“ hervor, indem man das eine mal sin(B— y) und siny das andere mal sin(C— 6) und sin 6 mit einander vertauscht. Für O' erhält man endlich die Coordinaten aus denen für O“, indem man alle drei Verwechselungen, wie sie bei der Bestimmung der Coordinaten von O“ O“ und O* besprochen worden sind, zugleich eintreten lässt. Wir wollen die Abscissen für O“, 0"

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