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Zus. 1. Die kleine Axe ist der kleinste aller Durchmesser.

Zus. 2. Für jeden Scheitel der grossen Axe ist der Unterschied der zugehörigen Brenn- linien ein Maximum, für jeden Scheitel der kleinen Axe dagegen ein Minimum.

13. Machen wir für unsere früher(6, 1) entwickelte allgemeine Gleichung die besondere Voraussetzung, dass nicht bloss die dort angeführten Summen, sondern deren einzelne Sum-

manden beziehungsweise gleich sind, so ist

entweder 1I, I2= n² und darum auch V. w= p. d oder 2, 1I= p. d und darum auch ni= V. W oder 3, die beiden ersten Fälle finden zugleich Statt.

Eine nähere Untersuchung des ersten Falles! lehrt die Eigenschaften solcher Ellipsenhalb- messer kennen, welche von gleicher Grässe sind. Mit Leichtigkeit überzeugt man sich, dass die zu solchen Halbmessern gehörigen Brennlinien beziehungsweise gleich sind, und dass ein Gleiches von den Winkeln gilt, welche diese Brennlinien unter sich, mit ihren Halbmessern, und diese Halbmesser mit den Axen bilden.

Wichtiger ist der zweite Fall, wo zwei Halbmesser in einer solchen gegenseitrgen Bezie- hung stehen, dass jeder die mittlere Proportionale zwischen den Brennlinien des andern ist.

Solche Halb- oder Durchmesser nennen wir conjugierte, oder einander zuge- ordnete, und bezeichnen sie selbst durch r und ri, ihre Brennlinien aber durch v, w, und vi, wi; die Winkel dieser letzteren durch R und Ri.

14. Weil allgemein 1 † v. w= al+ bz, und auch, unserer Erklärung zufolge,

r?= V. w, so ist auch stets 1. I= f. be d. h. die Quadratsumme zugeordneter Halbmesser ist gleich der Quadratsumme der halben

Axen, bildet also in jeder Ellipse eine unveränderliche Grösse. Zus. I. Umgekehrt müssen zwei Halbmesser zugeordnete sein, wenn lihre Quadratsumme

die vorherſgenannte Grösse hat, weil dann ja immer r?= V. w und r= VI. Wi.

Zus. 2. Die Axen selbst sind daher zugeordnete Durchmesser.

Zus. 3. Verbindet man die vier Scheitel zugeordneter Durchmesser unter einander so ist die Quadratsumme dieser vier Verbindenden eine constante Grösse; denn sie ist gleich der Qua- dratsumme der Axen.

15. Es ist R R 2 2— 1= 281= 2= r12. 2— r*(C08 2— VI⸗ WI C08 2 V. W 608 2 11 C08 2 und d 2 2 R'sin2 R 1 11 und ausserdem ra(cosz 2l † sin2 21) † 12= a2+ b, also Wegen(11) R r cos— 1=—— 2 ri cos-2 b

d. h. schneidet man von dem Scheitel jedes zweier zugeordneter Halbmesser aus auf einer der von hier auslaufenden Brennlinien ein Stück gleich dem andern Halbmesser ab, so sind die Entfernungen solcher Durchschnittspunkte von den durch die entsprechenden Scheitel ge-

henden Tangenten gleich gross, und zwar gleich der halben kleinen Axe.

Zus. I. Ist daher(Fig. 2.) GW= r so ist WGC= 2, und umgekehrt.

Zus. 2. Bezeichnet Z den Durchschnittspunkt der verlängerten kleinen R gehenden Tangente, so sind, einem bekannten Elementarsatze zufolge,

Axe mit der qurch die Winkel ERF