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Anmerk. 2. Auch die andere Aufgabe, von einem ausserhalb einer Ellipse gegebenen Puncte Tangenten an dieselbe zu ziehen, lässt sich durch Hülfe der vorhergehenden Lehrsätze lösen. Man beschreibe von jenem Puncte als Mittelpunct mit seiner Entfernung von dem Brennpuncte als Radius einen Kreis, dessen Peripherie, wie man leicht nachweisen kann, stets die des Richt- kreises schneiden muss. Die durch diese Durchschnittspuncte bestimmten Halbmesser des Richt- kreises schneiden den Ellipsenumfang in Puncten, welche die Berührungspuncte für die gesuch-

ten Tangenten sind.

6. Bezeichnet man der Kürze halber den beliebigen Halbmesser CD(Fig. I) durch F. die zu ihm gehörigen Brennlinien DF und DE durch v und w, die grosse Axe, kleine Axe und Excentricität beziehungsweise durch 2a, 25, 2e, so erhält man, weil DC Seitenhalbirende des Dreiecks DEE ist,

2(r2+ e²)= v2 † wz=(v+ w)2— 2v. w, also r 2 T v. w= 2 a2— ez= az²+ a2— ez²= a2+ b 2 d. h. die Summe des Quadrates eines Ellipsenhalbmassers und des Rechtecks aus den ihm zu-

gehörigen Brennlinien ist eine für dieselbe Ellipse beständige, von der besondern Lage des Halb- messers unabhängige Grösse.

Zus. Ist also n ein zweiter Halbmesser, dessen Brennlinien p und q, so ist n2+ p. q= 12 v. w. 7. Unter eben diesen Umständen, und wenn R und N die Winkel bezeichnen, welche die

Brennlinien beziehungsweise der Halbmesser r und n bilden, ist einem bekannten trigonome- trischen Satze zufolge:

4 c2= V2 † w2²— 2 v. w cos R= p2+ q2— 2 pq. cos N, also auch 4 a2— 2v. w(1+ cos R)= 4a2— 2 pq(1+ cos N) und darum auch

v. w CoszN= 2 N . 82 2= p. d. cos 2

d. h. das Rechteck aus den orthographischen Projectionen zweier zusammengehörigen Brenn- linien auf die den eignen Winkel dieser letztern Halbierende ist eine beständige von der besondern Lage der Brennlinien unabhängige Grösse.

Zus. I. Da nun für die beiden Brennlinien, welche einem der Scheitel der kleinen Axe angehören, unser Rechteck offenbar b wird, so ist also stets:

R N 2——.— 2—— 2 v. W. cos2= p. 4. cos2= b

Zus. 2. Das Rechteck aus den Senkrechten, welche man von den Brennpuncten auf eine beliebige Tangente fällt, ist gleich dem Quadrat der halben kleinen Axe, weil(Fig. 1)

EK= Ww. cosN und FS= v. cosn

Zus. 3. Ist CT senkrecht auf der Tangente KS, so ist

Cr= 3(HK † FS)= a. c0s5

Die Entfernung einer Tangente vom Mittelpuncte hängt also von der Grösse des Winkels ab, welchen die Brennlinien des Berührungspunktes bilden, und zwar so, dass diese Entfernung zunimmt, wenn jener Winkel abnimmt, und umgekehrt.

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