41

V. Gleichungen des fünften Grades. 73. Erſte Auflöſung. Die gegebene Gleichung ſei

1) 0 = a + by + cy † dy“ + ey“ + ys. Dieſelbe hat mindeſtens eine reelle Wurzel. Man beſtimme dieſe Wurzel, y = — a, mittelſt des Umkehrungsverfah⸗ rens, ſo ergiebt ſich: 2 0 = (A 4 By + Cy + Py* + J9 (a † ) 3 0 = 4Aa + (5 a † y + (Ca † 50) + (Da 4 00 + (a † Dy + y. Aus der Vergleichung von 1. und 3. erhält man: 4) — oder A= b — ca † da' — ea + as, h à 5) B = c — da + ea — a, c b a d c b à 3 wodurch nunmehr die Herleitung der vier andern Wurzeln auf der Löſung einer biquadratiſchen Gleichung beruht. 71. Zweite Auflöſung. Die gegebene Gleichung (73. 1.) habe mehr wie eine reelle Wurzel. Man beſtimme deren drei, J = — a, V = — b, = — e, mittelſt des Umkehrungsverfahrens, ſo ergiebt ſich: ¹0 0 = 4A † By v (a+ M ( (e† nimlich: W abe

B = ab ac+ be C = a4b†e 3) 0 = AA † (BA † ABy+ (CA BB My? + (A CB† B)ys + (B + GMy †ys. Aus der Vergleichung von 3, mit (73. 1.) laſſen ſich verſchiedene Gleichungen zur Beſtimmung von und B durch die bekannten Werthe von A, B, C ableiten. Aus 4) A = d — eC + Ci — B 5) B = e — C folgt die Formel, welche mit der biquadratiſchen (66. 4.) und der cubiſchen (55. 4.) Aehnlichkeit hat:

a Fb Fe — e 3 (a † b † e) †6 „ 4

Y

†a (b +c) +be — d

——

75. Dritte Auflöſung⸗ Setzt man für die gegebene Gleichung (73. 1.)

0 2 ( (1 B 7) 3) 0 = (A + By + J*) (4 † By † Cy* + y*) ſo folgt: 4) A a = 4AA 9) a = Aa 5) b= BA AB b = 6A+ 45 100) e= B a †z. 6) c = C A + BB † A c = CA † B5 +† 4 ) d= A 08 P B d = A † 053 + B 8) — B† 0 — 3 † C

—————————— ——