Folglich iſt die Zahl der imaginären Wurzeln = — (n — 2) und ihre Form ergiebt ſich:
für A: ab — aß + (ab † ab) — be — 67+† 6e† bM — de 5 i ab +† aß † (ab — ah) ve +† 6 4 6e — 5 a b — aß — (ab †aß) 7 be — 67 — 6e + bN — ac —
b†e† 6†V—1 a e + l N
5 5 p 6 a e 6
a †e † 6— V
3 6 )
n. ſ.
97. Hat eine gegebene Gleichung von ungeradem Grade nur eine reelle Wurzel, iſt alſo die Zahl der imaginären = n — ſ
beſe Paar imaginäre conjugirte Wurzeln, daher iſt auch die Zahl der reellen Wurzeln der Gleichung der Produkte oder Summen
n —
Wurzeln der gegebenen Gleichung, unter obiger Vorausſetzung, immer = und die Zahl der imaginären =
98. Befinden ſich unter den u Wurzeln der gegebenen Gleichung m reelle, wo m der Natur der Sache gemäß mit der Zahlen entweder gerade
oder ungerad iſt, ſo ergiebt ſich leicht, daß die Gleichungen der Produkte und Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichung (n +† m — 2) m imaginäre Wurzeln haben, und daß daher die Zahl der reellen Wurzeln gleich — — (m — 2) iſt.
Aus letzterer Formel ergiebt ſich, für m = 2, ſogleich, daß es für die Zahl der reellen, alſo auch der imaginären Wurzeln der Gleichungen der Produkte oder Summen der Wurzeln einer gegebenen Gleichung von geradem Grade einerlei ſei, ob die gegebene Gleichung keine oder zwei reelle Wurzeln habe.
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Note zu 69.
99. Nach (69. 3.) iſt man nach Wegſchaffung des Gliedes mit dem zweit höchſten Exponenten in den Stand geſetzt, iede gegebene Gleichung des vierten Grades mittelſt einer cubiſchen Gleichung zu löſen, ein Umſtand, der lediglich von einer, man fönnte ſagen, zufälligen Eigenſchaft der Gleichung (67. 7.) herrührt. Dieſelbe hat die Eigenthümlichkeit, daß die Coefficienten des Gliedes mit dem zweit höchſten Erponenten der gegebenen Gleichung (65. 1.), nämlich d, zum Faktor haben. Wird daher d = 0, ſo verſchwinden alle Glieder in ungeraden Potenzen und die geraden Poten⸗ zen B', Be, Be, da ſiſich durch (B'), (B'), (B) ausdrücken laſſen, machen die Auflöſung mittelſt einer cubiſchen Gleichung möglich. Die Gleichun⸗ gen der Produkte und Summen der Wurzeln der gegebenen Gleichungen anderer Grade beſitzen dieſe Eigenſchaft nicht, und fönnen auch daher nicht auf
einen kleineren Grad reducirt werden. „
„
Note zu 77. 100 Die Doppelformeln für B und A (77. 1. bis 4.) laſſen ſich auch in einfache zuſammen faſſen. Man erhält leicht: a A (b — d A) + A (c—6 A) à (a —e A*) + A (P— A*) a B (e — 2 B) +aſc — B) B*]
2 — [c— d B— (e — B) Baſc — de (d+ e¹) B — he † 2 B) (e — 2B)
1) B
aber die Anwendung der Doppelformeln dürfte doch der Anwendung der einfachen vorzuziehen ſein, theils weil letztere, namentlich für A, umſtändlicher theils weil erſtere zugleich eine Probe für die Richtigkeit des ſubſtituirten Werthes abgeben, was bei den einfachen Formeln nicht der Fall iſt. Dieſe Bemerkung hat auch Gultigkeit für die Doppelformeln (SS.).
ſind,
C8 — D —— 060 — ) S2—
—