22. Man ſubſtituire in derſelben für y nach und nach die numeriſchen Werthe . . . (m + 1), m, . 4, 3, 2, 1, 0, — 1,

m1

— 2, — 3, — 4, — m, — (m † 1), . . und bezeichne die hierdurch entſtandenen Werthe analog durch . ., 2,

— m —(m†1)

2 m r

Eine Zuſammenſtellung der ſo gefundenen Werthe von Z würde für die vorgelegte Gleichung eine Wurzeltafel bilden, welche zu dem Auffinden der Wurzeln in ähnlicher Beziehung ſteht, wie z. B. eine Tafel der Quadratzahlen zu der Operation des Quadratwurzelziehens.

23. Wählt man nun eine gerade Linie als Abſciſſenare und in ihr einen Punkt als Anfangspunkt der Coordi⸗ naten, trägt von ihm aus, rechts und links, die verſchiedenen Werthe für y in beliebigem Maßſtabe auf, errichtet in den entſprechenden Punkten ſenkrechte Ordinaten, welche man den entſprechenden Z gleich macht, und verbindet die End⸗ punkte dieſer Ordinaten mit möglichſter Beobachtung der allmäligen Krümmung durch eine ſtetige krumme Linie, ſo hat man durch dieſes Verfahren die vorgelegte Gleichung conſtruirt. Die ſo erzeugte Curve bildet einen fortlaufenden Zug, erſtreckt ſich nach beiden Richtungen ins Unendliche, bietet keine Knotenpunkte dar, und kann verſchiedene Biegungen haben. Die Zahl dieſer Biegungen kann bei einer Gleichung von dem Graden gleich und kleiner, aber nicht größer ſein als n—1. Die Entfernung der Durchſchnittspunkte dieſer Curve mit der gewählten Abſciſſenare von dem Anfangspunkte der Coordinaten giebt an, für welche Abſciſſe die zugehörige Ordinate gleich Null iſt, oder für welchen Werth von y der gegebenen Gleichung Genüge geſchieht, bezeichnet alſo jedesmal eine Wurzel der Gleichung.

2A. Da das Glied mit dem höchſten Erponenten, durch das fortgeſetzte Subſtituiren eines größeren und größeren Wer⸗ thes für y, zuletzt größer werden muß, wie die Summe aller übrigen, und da ferner dieſes Glied bei den Gleichungen eines geraden Grades, man mag y poſitiv oder negativ nehmen, immer poſitiv iſt, bei den Gleichungen eines ungeraden Grades aber poſitiv und negativ wird, je nachdem man für y einen poſitiven oder negativen Werth annimmt; ſo werden auch die Ordinaten Z bei den Gleichungen von geradem Grade zuletzt immer nach einer und derſelben Seite der Abſciſſenare, bei

den Gleichungen von ungeradem Grade aber nach entgegengeſetzten Seiten der Abſciſſenare fallen.

Hieraus folgt, daß bei der Conſtruktion der letzteren Gleichungen immer ein Durchſchnitt der Curve mit der Are ſtatt⸗ finden muß, ſowie daß bei der Conſtruktion der erſteren Gleichungen éntweder kein Durchſchnitt ſtattfindet, oder daß ſich die Durchſchnitte paarweiſe ergeben.

Daher haben die Gleichungen von ungeradem Grade mindeſtens eine reelle Wurzel, die von geradem Grade aber entwe⸗ der keine reellen Wurzeln, oder dieſelben paarweiſe.

Da aber jede Gleichung vom nten Grade auch n Wurzelwerthe geſtattet, ſo müſſen die übrigen imaginär ſein und, n mag eine gerade oder ungerade Zahl bedeuten, immer paarweiſe vorkommen.

25.

Das von y unabhängige Glied a bezeichnet immer die Ordinate des Anfangspunktes. Iſt a =0, ſo iſt auch immer ein Werth der Wurzel =0.

Iſten eine ungerade Zahl und a negativ, ſo iſt wenigſtens eine reelle Wurzel poſitiv, iſt a poſitiv, ſo iſt dieſelbe W

Iſt n eine gerade Zahl und a negativ, ſo iſt immer eine reelle Wurzel poſitiv, die andere negativ.

Iſt a negativ und folgen die poſitiven Glieder, falls ſolche vorkommen, alle unmittelbar auf das ef Gleichung immer eine reelle poſitive Wurzel.