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we
der de
allgemeinen Umkehrungsformel
auf die
Töſung numeriſcher Gleichungen.
I. Peſtimmung der Wurzeln im Allgemeinen
1. der reellen Wurzeln.
20. In der Darſtellung (18.) ſind die Coefficienten A, B, C, D. . . . zwar willkührlich gewählte, jedoch con⸗ ſtante und für ſich unabhängige Größen, hingegen X und y veränderliche Größen und ſowohl von einander als auch von den gegebenen Coefficienten abhängig.
Legt man aber X, ſowie den Coefficienten A, B, C, D. . . . beſtimmte Zahlenwerthe bei, ſo muß auch y einen
beſtimmten, von dieſen Größen abhängigen Zahlenwerth erhalten, und könnte mittelſt der Umkehrungsformel (19.), inſofern eine Convergenz der entwickelten Glieder ſtattfände, beſtimmt werden. Zu einer praktiſchen Beſtimmung von y wäre ſogar eine ſchnelle Convergenz nothwendig. Die Angabe, wann für die verſchiedenen Werthe der Coefficienten B, C, D, . . eine ſolche ſtattfinden muß, iſt großen Weitſchweifigkeiten unterworfen; begnügen wir uns mit einer Unterſuchung, unter welcher Vorausſetzung Convergenz ſtattfinden kann.
v bedeutet daher einen kleinen ächten Bruch, ſo iſt klar, daß auch dieſer Faktor einen dem Werthe von Null um ſo näher kommende Größe bezeichnen muß, je größer n iſt; ſo daß alsdann jedes folgende Glied einen immer mehr und mehr ſich der Null nähernden Faktor erhält. Fin⸗
Wir ſehen, es hat das nie Glied der Entwickelung den Faktor
den wir daher Mittel, ₰ ſo zu beſtimmen, daß dieſe Größe kleiner als die Einheit wird, ſo werden wir auch in den meiſten A
Fällen Convergenz und, je nach Maßgabe der Kleinheit dieſer Größe eine ſchnellere Convergenz in der Umkehrung erhalten.
21. Um die deutliche Einſicht in die Natur dieſes Gegenſtandes mehr zu erläutern, ſei es erlaubt, unſere Unterſuchung an eine geometriſche Betrachtung zu knüpfen und die Methode der Conſtruktion der Gleichungen hier einer Erörterung zu unterwerfen. Da wir aber x mun nicht mehr als veränderliche, ſondern als conſtante Größe anſehen, ſo wollen wir die Gleichung (18.) in der Geſtalt in Betracht ziehen, ſo daß wir daſelbſt — a für X, b für A, e für B x. ſchreiben.