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Vor Allem leuchtet ein, dass die B, durch die Involutionsscheitel, d. h. durch die Kreis- punkte Q und“ geht(vergl.§ 1, pag. 3). Diese Eigenschaft giebt der Brennpunktscurve ihre ausgezeichnete Stellung unter den Curven dritter Ordnung.
Bekanntlich gehen alle Kreise durch die beiden unendlich fernen imaginären Punkte 2 und Q, und umgekehrt ist jeder Kegelschnitt, der durch Q und“ geht, ein Kreis.
„Die Brennpunktscurve nimmt also unter den Curven dritter Ordnung eine analoge Stelle ein, wie der Kreis unter den Kegelschnitten.“ Salmon nennt sie aus diesem Grunde circular(cubique circulaire nach Cremona)*)..
Es ist schon pag. 2 erwähnt worden, dass die gerade Verbindungslinie der beiden In- volutionsscheitel von einem und nur einem Kegelschnitt der Schaar berührt wird, so dass die Verbindungslinie zwei zusammenfallende Tangenten entsprechender Tangentenpaare repräsentirt. Die gerade Verbindungslinie der unendlich fernen imaginären Kreispunkte ist aber die unendlich ferne Gerade, der Kegelschnitt, der von ihr berührt wird, die einzige in der Schaar enthaltene Parabel.(Vergl. Schröter's Definition von halbperspectiver Lage.)
Für diese Parabel sind Q, 2 und der Berührungspunkt der unendlich fernen Geraden mit dem Kegelschnitt die drei Brennpunkte in unendlicher Ferne. Der vierte Brennpunkt der Parabel liegt im Endlichen und kann geometrisch mit Hülfe von Kreisen angegeben werden. (Vergl. hierüber Cremona, Nouv. Ann. 1864. pag. 23.)
Auf diese Betrachtung gründet sich eine bemerkenswerthe Construction der Brennpunkts- curve, die von Herrn Küpper angegeben worden ist. Dieselbe findet sich in den Abhandlungen von Schröter und Dauège(Math. Ann. Bd. V) ausgeführt.
§ 5.
Erzeugung der Brennpunktscurve mit Hülfe confocaler Kegelschnittschaaren.
Man kann die beiden unendlich fernen imaginären Kreispunkte Q und 2“ als einen in ein Punktepaar degenerirten Kegelschnitt, d. h. als einen Ort zweiter Classe ansehen. Betrachten wir nun dasjenige System von Kegelschnitten, das durch die gemeinsamen Tangenten des Paars der unendlich fernen imaginären Kreispunkte Q und 4 und eines zweiten beliebigen Kegel- schnitts uα= 0 berührt wird.
Die vier gemeinsamen Tangenten dieser Schaar von Kegelschnitten sind die vier von den beiden imaginären Kreispunkten im Unendlichen an u.l= 0 gezogenen Tangenten. Die sämmtlichen Kegelschnitte dieses ausgezeichneten Systems haben dieselben Brennpunkte, wie unmittelbar aus der Plücker'schen Definition derselben hervorgeht und bilden eine Schaar confo- caler Kegelschmitte, der die gemeinsamen Brennpunkte als Ort zweiter Classe ebenfalls angehören**).
*) Vergl. Schröter a. a. O. p. 50 und den Ausspruch von Faure(Nouv. Ann. t. XX. p. 56):„Cette courbe rappelle le cercle dans la théorie des courbes du troisième ordre.“
**) Bezeichnet in der Gleichung ua?+ 1uy2= 0 uy?= 0 die unendlich fernen imaginären Kreispunkte, und wird 1 so bestimmt, dass die Discriminante von uαν+‿¶ 1uν½= 0 verschwindet, so stellt diese Gleichung ein Brennpunktspaar dar.(Vergl. Salmon-Fiedler's Kegelschnitte, Art. 365.)