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—-——— miw. Biphl Univ.-Bibl. Giessen

Ueber den Zusammenhang der ebenen Curven dritter Ordnung mit Kegelschnittschaaren.

Von Dr. Th. Walter in Büdingen.

Im 20. Band der Nouvelles Annales de Mathématiques pag. 56 wurden von Herrn Faure die folgenden beiden Sätze ausgesprochen:

„La courbe du troisième ordre qui passe par les six sommets d'un quadrilatère complet et par les pieds des hauteurs du triangle formé par ses diagonales passe par les points circu- laires à Linfini.

Cette courbe est le lieu des foyers des coniques inscrites dans le quadrilatère et rappelle le cercle dans la théorie des courbes du troisième ordre.“

Dieselben wurden von Cremona in einem späteren Bande derselben Zeitschrift) auf synthetischem Wege kurz bewiesen. Neuerdings haben Schröterx) und Durége**s6) die ebene Curve dritter Ordnung, welche den Ort der Brennpunkte einer Kegelschnittschaar bildet, genauer betrachtet und insbesondere eine höchst einfache und bemerkenswerthe Construction sowol der Brennpunktscurve, als auch der allgemeinen Curve dritter Ordnung in der Ebene angegeben †). Schröter hat bei dieser Gelegenheit zuerst auf einen fundamentalen Zusammenhang aufmerksam gemacht, der zwischen ebenen Curven dritter Ordnung und gewissen Kegelschnittschaaren stattfindet.

Es wird meine Aufgabe sein, die von Schröter auf rein synthetischem Wege gefundenen Sätze in Kürze analgtisch abzuleiten.

§ 1. Erzeugung der ebenen CGurve dritter Ordnung durch projective Strahleninvolutionen.

Der Ort der Durchschnittspunkte entsprechender Curven zweier projectiver Curvenbüschel mier und nter Ordnung ist im Allgemeinen eine Curve von der Ordnung m+ a, die durch specielle Eigenschaften der Büschel in Curven niederer Ordnung zerfallen kann. Auf diesen Fundamental- satz hat Chasles bekanntlich die Construction von Curven verschiedener Ordnung gegründet und eine Reihe wichtiger Sätze darüber aufgestellt † †).

*) Deuxième Série 1864. t. III. p. 23. **) Math. Ann. Bd. V. p. 50; Bd. VI. p. 85. **.) Math. Ann. Bd. V. p. 83.

†) Clebsch sagt von dieser Construction der ebenen Curve dritter Ordnung: Sie leistet an Einfachheit, das Aeusserste; von drei Polenpaaren ausgehend, erhält man beliebig viele weitere Punkte der Curve, und zwar jeden als Kreuzungspunkt zweier Geraden, ohne weiterer Hülfslinig ürfen. Math. Ann. Bd. V. p. 422.

††) Comptes rendus 1853 und 1857.

4 Progr. Nr. 48.

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