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So entsteht ein Kegelschnitt als Ort der Durchschnittspunkte entsprechender Strahlen zweier projectiver Strahlbüschel, eine Curve dritter Ordnung als Schnitt eines Strahlbüschels mit einem dazu projectiven Kegelschnittbüschel, eine Curve vierter Ordnung als Schnitt projectiver Kegelschnittbüschel u. s. w.

Als ausgezeichnete Kegelschnittbüschel lassen sich insbesondere involutorische Strahl- büschet betrachten. Der Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlenpaare zweier involuto- rischer Strahlbüschel in projectiver Zuordnung ist danach eine Curve vierter Ordnung, welche die beiden Scheitel der Involutionen zu Doppelpunkten hat. Diese Curve vierter Ordnung zerfällt für den besonderen Fall, dass die Gerade, welche die Scheitel der Involutionen verbindet, in ent- sprechenden Strahlenpaaren der beiden Involutionen auftritt, in diese Gerade und eine Curve dritter Ordnung. Schröter nennt in diesem Falle die Strahleninvolutionen(Strahlsysteme)„Halbperspertiv liegend“, Durège„perspectiv liegend**.

Nach einem Satze von Sturm(Gergonne's Annalen t. 17. p. 180) entstehen projective Strahleninvolutionen, wenn aus zwei beliebigen Punkten der Ebene Tangentenpaare an alle Kegel- schnitte, die einem vollständigen Vierseit einbeschrieben sind,(Kegelschnittschaar) gezogen werden.

Je zwei Paare von Tangenten, die denselben Kegelschnitt berühren, entsprechen einander; die gerade Verbindungslinie der gegebenen Punkte wird von einem Kegelschnitt der Schaar berührt, gehört also in zwei entsprechende Tangentenpaare. Die beiden Involutionen sind also auch(nach der Schröter'schen Bezeichnungsweise) in„Ralbperspectiver Lagett.

Ich stelle die Gleichung des Orts der Durchschnittspunkte entsprechender Strahlen- paare auf.

Gegeben sind zuwei Punktte(ac) und(bc) durch die Strahlbüschel

cæ+ u* 0, (1) c.. 25⸗— 0, und die Schaar, von Kegelschnitten in Liniencoordinaten symbolisch dargestellt durch die Gleichung (2) ua+ 1u= 0.

Von den beiden Punkten aus sollen Tangenten an die Kegelschnitte der Schaar gehen, wodurch zwei projective Involutionen erzeugt werden. Der Strahl mit den Coordinaten

ci † K,+ 42, G † uas soll der Gleichung 1 ua 1us 2= 0 genügen, ebenso der Strahl mit den Coordinaten c vbi,&ν᷑+ vbe, Gs+. vbg. Das giebt (3*)(+‿¶ ul)+† 4(C+ us³)= O, (x—„ be)?*— 7( 1 b 3)2²— 0. Ausserdem soll x den Schnittpunkt derselben beiden Strahlen bedeuten, so dass

(3 ¹) 4 4 Cr— ga⸗— 0, Gr+ v be= 0.