— 3— Eliminirt man aus diesen vier Gleichungen 4, u, v, so erhält man die Gleichung des ge- suchten Ortes. Zunächst setze ich die Werthe für und» ein. Es ergiebt sich (cde— da cr)“+† 1(csdeæ— ap cr)= 0, (ca bæ— ba cr)“+ 1(cs be— b5 c*)“= 0.
Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen noch 1, so kommt
[(cde— dacr)(Csbe— bgcr)—(cabe— bacr)(Csde— ascr)].[(Cade— dacr)(Cs be— bs cr)+
+(cabr— bacr)(sdæ— agcr)]= O..(4) Dies ist die Gleichung der gesuchten Curve. Sie ist vierten Grades in æ, stellt also eine Curve vierter Ordnung dar. Es ist nun sehr leicht, die beigemengte Gerade abzusondern, da der erste Factor gleich ist
rlee(ub,— bya.)— ey(ach.— beaw)! † ersaahy— ba)—
da Da a = cr a, de ee= cr(abc)(aßα).*)(5) der D Ca
ce= 0 ist die Gleichung der Geraden, welche die Scheitel der beiden Strahlbüschel(ac) und (bc) verbindet. Die Curve vierter Ordnung zerfällt also unter den gemachten Voraussetzungen in diese Gerade= 0 und in die Curve dritter Ordnung, deren Gleichung nach Weglassung des constanten Factors(abc), welcher nicht Null sein darf**), lautet
(«m„νQρ). L(rde— aacr)(Cr be— bcr)+(cab⸗— bacr)(Csder— ascz)!= 0.(6)
Dieser Gleichung wird durch die Coordinaten der beiden Scheitel der Involutionen, resp. durch die Werthsysteme
Ce= 0, de= 0,
C.= 0, 52=— 0 genügt. Die Scheitel der beiden Strahlbüschel æ+ àaer= O0,+ v»be= 0 sind somit Punkte der Ortscurve. Da sie gleichzeitig der Geraden= 0 angehören, so sind sie an der durch die Gleichung(4) dargestellten Curve vierter Ordnung als Doppelpunkte anzusehen.
§ 2. Identität der Curve(6) mit der Jacobi'schen Curve eines Kegelschnittnetzes und mit der Hermite'schen Gurve eines Kegelschnittgewebes.
In§ 1 haben wir als Ort der Durchschnittspunkte entsprechender Strahlenpaare in zwei projectiv zugeordneten Involutionen in halbperspectiver Lage eine allgemeine Curve dritter Ordnung gefunden, die durch die beiden Involutionsscheitel geht.
*) Wo(aνo),(.μ⁵α) die Determinanten dritten Grades
41 ae d. e b1 b2 5s* 61 62 63 6 GCe Ca Ti ee
bedeuten.
**) Da sonst die Geraden de, bæ, cæ durch einen Punkt gehen würden, was ausgeschlossen ist. 1*