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Nun lässt sich jede Curve dritter Ordnung als Jacobi sche Curve eines Netzes von Kegel- schnitten betrachten, d. h. als der Ort aller Punktepaare, die aus je zwei in Bezug auf das ganze Netz einander zugeordneten Punkten bestehen, oder als der Ort der Doppelpunkte der zerfallenden Kegelschnitte, deren das Netz eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit enthält.

Die Zuordnung der Punkte æ, y eines solchen Punktepaares der Ch ist bekanntlich von der Art, dass die Polaren des einen Punktes x in Bezug auf drei Kegelschnitte des Netzes, die nicht einem und demselben Kegelschnittbüschel angehören, und folglich in Bezug auf alle Kegel- schnitte des Netzes durch den andern Punkt g gehen. Die Polaren des Punktes g in Bezug auf das Netz schneiden sich dann ihrerseits wieder in x. Solche Punkte heissen conjugirte, zu- geordnete Punkte oder harmonische Pole.

Wählen wir irgend zwei Kegelschnitte aus dem Netze, so bestimmen diese ein Büschel von Kegelschnitten. Dasselbe enthält 3 Linienpaare(zerfallende Kegelschnitte), deren Doppel- punkte ein Tripel conjugirter Punkte bilden, die auf der Jacobi'schen Curve des Netzes liegen. Die Jacobi'sche Curve ist daher auch der Ort aller Tripel der dem Netz angehörenden Büschel und heisst die Tyripelcurve des Netzes.

Zu jedem Kegelschnittnetz

1 νκ t˙‿ᷣ e † vL.r= 0 lässt sich ein dualistisch entsprechendes Gebilde xua Ous Gu= 0 herstellen, das von Schröter ein Kegelschnittgewebe genannt worden ist(Math. Ann. Bd. V. p. 62). Das Kegelschnittgewebe hat Eigenschaften, die denen des Netzes polar gegenüber stehen.

Insbesondere besitzt es eine Jacobi'sche Curre. Denn suchen wir zu einer Geraden u alle Pole in Bezug auf das Gewebe, so erhalten wir als Gleichung eines beliebigen Pols

æuα ϊ ‿ ϑusς ν‿+‿ συνυ= 0.

Die Pole bilden also im Allgemeinen eine zweifach unendliche Mannigfaltigkeit von Punkten, welche die Ebene bedecken. Sollen die Pole von u auf einer Geraden v liegen, so muss das System von Gleichungen

Aa da= 0, 205 O= O0, uy,= O,

eine gemeinsame Lösung v haben. Die Bedingung dafür ist

uæ ax dr e Aa cx di de a (1) us s ur= Wa uguy 6 62 66 uaug uy(ᷣ)= 0. Ay P= Ay Pe Ay„3 pi ve 73

Diese Form ist die Functionaldeterminante der Grundformen aa, us?, un? und dritten Grades in u(Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten§ 12, 1). Sie möge sym- bolisch mit u?², bezeichnet werden.

ue¹, ist eine simultane Cowvariante von ua?, use, u,? und zugleich eine Combinante des Gewebes. Denn führen wir statt ua?, u,², u,? die linearen Combinationen derselben