— 13—

Ist das Polargewebe von K, dem Polarnetz von Ka conjugirt, dann fällt die Cayley'sche Curve der K zusammen mit der Hesse'schen Curve der Ka. Wir können also folgende Sätze aussprechen:

„Die Curve dritter Ordnung(, deren Gleichung in§ 1 aufgestellt wurde, kann aufgefasst werden als die Hermite’sche Curve eines Kegel- schnittgewebes oder als die Cayley'sche Curve derjenigen Curve dritter Glasse, deren Polarsystem dieses Gewebe ist.“

„Diesem Kegelschnittgewebe ist ein Netz von Kegelschnitten con- jugirt, als dessen Jacobi'sche Curve die Gz betrachtet werden kann.“

„Die Curve dritter Ordnung, deren Polarsystem dieses Kegelschnittnetz ist, hat die C; zur Hesse-Steiner'’schen Curve“*).

§ 4. Die Cz als der Ort der Brennpunkte einer Kegelschnittschaar.

Ich wende mich jetzt dazu den besonderen Fall zu betrachten, wo die Scheitel der Strahleninvolutionen zu den Kegelschnitten der Schaar eine ausgezeichnete Lage besitzen.

Die Brennpunkte eines Kegelschnitts haben, wie Plücker, Crelle's Journal Bd. 10. pag. 84 zuerst nachwies**), die Eigenschaft, dass die Geraden, die von den beiden unendlich fernen imaginären Kreispunkten nach den Brennpunkten gezogen werden können, Tangenten des Kegelschnitts sind. Vermöge dieser Eigenschaft werden die Brennpunkte einer Schaar von Kegelschnitten ge- funden, indem man von den Kreispunkten im Unendlichen aus alle Tangenten an die Kegel- schnitte der Schaar legt und die Schnittpunkte entsprechender Tangentenpaare bestimmt.

Wählt man demnach als Scheitel der projectiven Strahleninvolutionen, deren Schnitt- punkte die Cz erzeugen, die beiden imaginüren Kreispunkte in unendlicher Ferne Q und K'˙, d. h. legen wir von den Kreispunkten aus alle Tangentenpaare an die einem vollständigen Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte, und bezeichnen wir wieder je zwei Paare von Tangenten, die denselben Kegelschnitt berühren, als entsprechende Tangenten, so sind die Durchschnittspunkte entsprechender Tangentenpaare identisch mit den Brennpunkten der Schaar; ihr Ort ist eine ausgezeichnete ebene Curve dritter Ordnung, welche die Brennpunktscurve einer Kegelschnitt- schaar heisst.

Die Eigenschaften dieser Brennpunktscurve, die wir mit B bezeichnen wollen, fliessen unmittelbar aus den in§ 1 angegebenen Eigenschaften der C;, wenn wir statt der Involutions- scheitel(ac) und(bc) die imaginären Kreispunkte im Unendlichen substituiren.

1

*) Vergl. Schröter, a. a. O. pag. 75 s. fin.

*n) Aus dieser allgemeinen Definition der Brennpunkte eines Kegelschnitts fliesst unmittelbar die Defi- nition„solcher Punkte, die bei Curven einer höheren Ordnung als der zweiten den Brennpunkten der Kegel- schnitte entsprechen.“ Die Plücker'sche Definition der Brennpunkte beliebiger algebraischer Curven lautet:

„Derjenige Punkt in der Ebene irgend einer gegebenen algebraischen Curve, welcher die Eigenschaft, hat, dass zwei durch denselben gehende Tangenten der Curve mit einer beliebigen geraden Linie Winkel bilden, deren beide trigonometrischen Tangenten+† ¹ sind, heisst ein Brennpunkt der Curve.“

Von anderer Seite(Siebeck in Crelle's Journal Bd. 64. p. 175) ist die Gleichung für die Brennpunkte einer Curve als monogene Function, d. h. als Function einer complexen veränderlichen Grösse 2=&+ i9 be⸗ trachtet worden, sodass also die Theorie der Brennpunkte in das Gebiet der Functionen einer complexen Va- riabeln fällt.