— 11— homogene lineare Gleichungen. Die Curve dritter Ordnung ist also im Allgemeinen eindeutig bestimmt.(Pasch, Vorlesung über Curven zweiter und dritter Ordnung.)
Die Curve †= 0, deren Polarnetz mit dem Netz Aνν †+†᷑ be verr= O zusammen- fällt und die mit K, bezeichnet werden soll, besitzt, wie zuerst von Steiner bemerkt wurde, ausgezeichnete Polaren, nämlich solche, welche Doppelpunkte haben.
Die Gleichung der Polaren für einen Punkt„; der Ebene ist
hu † hb †= 0..(B)
Soll diese Polare einen Doppelpunkt haben, so müssen die ersten Differentialquotienten der linken Seite der Gleichung gleichzeitig Null werden. Also
vi I † Nehis+ Äfis= 0,
Hi fei Yeſes+. Ysf2s= 0,(4) Y far 4 Valss Yafas= O, 1 bf. 1 F. 5 fa= 2 5w.= 2 ha.= ſi ist.
Eliminiren wir æ, so erhalten wir den Ort der Pole, eliminiren wir y, so ergiebt sich der Ort der zugehörigen Doppelpunkte. Da aber das System für æ und g symmetrisch ist, so fallen die beiden Ortscurven, welche die Elimination liefert, zusammen.
Die Resultante ist eine Determinante, und zwar eine Covariante, welche die Hesse'sche Curve der K, heisst. Ihre Punkte entsprechen einander paarweise wegen der Symmetrie der Gleichungen für æ und y;, so dass jedem Punkt als Pol betrachtet ein anderer entspricht, welcher der Doppelpunkt seiner Polaren ist, und umgekehrt. Die Hesse'sche Curve der Ka ist also der Ort der Doppelpunkte der zerfallenden Kegelschnitte des Polarnetzes und folglich identisch mit unserer Cz*).
Ferner besitzt die Ka eine zugehörige Form(Contravariante), welche die Enveloppe der Tangenten in den Doppelpunkten der Polaren darstellt. Sie heisst die Cayleysche Curbe der Ka. (Vergl. Cayley, Philos. Transact. Bd. 147. p. 415.) Ihre Tangenten sind die Verbindungslinien conjugirter Punkte der Hesse'schen Curve, oder die Geraden, die sich zu conischen Polaren ergänzen lassen und die gleichzeitig das Netz der Polarkegelschnitte in einer Involution schneiden. Die Cayley'sche Curve ist dritter Classe und identisch mit der Hermite'schen Curve des Polar- netzes. Ihre Gleichung in symbolischer Form lautet
(abu)(acu)(beu)= O,(5)
wo ul, u, us die Coordinaten der Geraden u sind, welche die conjugirten Punkte verbinden. Aronhold bezeichnet die Cayley'sche Form mit S,, Clebsch und Gordan mit E= u.d.(Math. Ann. Bd. VI. pag. 443.)
*) Die Hesse'sche Curve einer Curve nter Ordnung entsteht in gleicher Weise durch Elimination der „ und ist also der Ort der Doppelpunkte der Polaren vom Grade n— 1; sie ist vom Grade 3„— 6. Eliminirt man die æ aus dem Gleichungssystem, so erhalten wir im Allgemeinen eine Curve von höherer Ordnung, nämlich vom Grade 3(— 2)². Sie ist der Ort der Pole, deren Polaren einen Doppelpunkt besitzen. Ihre Eigenschaften sind von Steiner angegeben worden.(Vergl. Crelle's Journal Bd. 47.) Sie heisst deshalb die Steiner'sche Curue der Curve nter Ordnung. Nur für die Curven dritter Ordnung fallen Hesse'sche und Steiner'sche Curve zusammen.(Vergl. Salmon, higher plane curves, Art. 70, und ausserdem Cremona, curve piane, No. 88, d.) 2*
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