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„Wird ein Punkt x durch einen andern Punkt„; zu einem reducibeln Kegelschnitt des Gewebes ergänzt, so gehen von æ aus an die Jacobi'sche Curve, ausser der Verbindungs-

. linie u der beiden Punkte, noch zwei Tangenten, die einander conjugirt sind.“ Denn nehme ich eine Schaar aus dem Sewebe heraus und lege von x aus alle Tangenten an dieselbe, so bilden diese ein involutorisches Strahlbüschel(Satz von Sturm, vergl. pag. 2), dessen Doppelstrahlen v und v durch den Punkt æ gehen. Die Geraden v und» sind aber nicht nur conjugirt in Bezug auf die Schaar, sondern auch in Bezug auf das ganze Gewebe. Denn

in diesem Falle hat man die Gleichungen

Pabe— 0, v—0„ vf v)= 0,

woraus für v das Verschwinden der Jacobi'schen Determinante folgt. Also sind v und v»' auch Tangenten an die Jacobi'sche Curve, womit der Satz bewiesen ist.—

Bemerkenswerth ist die Umkehrung dieses Satzes:

„Jeder Punkt æ, von dem aus zwei conjugirte Tangenten an die Jacobi'sche Curve gehen, lässt sich zu einem zerfallenden Kegelschnitt des Gewebes ergänzen.“

Denn die Jacobi'sche Curve ist dritter Classe. Also geht von x aus noch eine weitere Tangente u an dieselbe, und diese Gerade ist zufolge der Definition der Jacobi'schen Curve die Verbindungslinie eines Punktepaars des Gewebes. Sei dasselbe(x m). Nun sind die beiden Tangenten v und v“ conjugirt in Bezug auf den zerfallenden Kegelschnitt(νmφα), mithin bilden die Punkte

(ub),(uν), 2, 9 ein System harmonischer Punkte, woraus unmittelbar hervorgeht, dass æ und xα nicht ver- schieden sein können.

Noch eine weitere Eigenschaft des Netzes lässt sich auf das Gewebe übertragen. Zieht man die Verbindungslinien der in Bezug auf das Netz conjugirten Punkte(deren Ort bekannt- lich die Jacobi'sche Curve des Netzes ist), so umhüllen diese Geraden eine Curve dritter Classe, deren Gleichung durch das Verschwinden der von Hermite aufgestellten simultanen Contravariante dritten Grades(der sogenannten Hermitéschen Form) ausgedrückt wird*). Die Curve heisst deshalb die Hermite'sche Curve des Netzes..

Man findet ihre Gleichung, wenn man eine ausgezeichnete Eigenschaft der Verbindungs- linien der in Bezug auf das Netz conjugirten Punkte analytisch ausdrückt. Diese Geraden schneiden nämlich die Kegelschnitte des Netzes in Punktepaaren einer Involution, die durch die beiden conjugirten Punkte harmonisch getrennt werden.

Die Hermite'sche Curve ist gleichzeitig die Enveloppe der Geraden, die sich zu redu- cibeln Kegelschnitten des Netzes ergänzen lassen oder die das Netz in Punktepaaren einer In-

volution schneiden. Für das Netz

1ν+‿᷑¶⅓&e²+†+ v= 0

*) Vergl. Hermite in Crelle's J. Bd. 57. pag. 371, und ausserdem Gundelfinger in Borchardt's J. Bd. 80. pag. 73.