II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes. 27

kann man die Kreisebene in der Sehſtrahlrichtung parallel verſchieben und dadurch eine Quadratſeite in die Tafel verlegen. Das Abbild des Quadrats iſt dann ein Parallelogramm, welches eine Seite mit dem Quadrat gemein hat; auf dieſer Seite oder ihrer Verlängerung— auf der Spures— ſchneidet dann jede Ge⸗ rade der Kreisebene ihr Bild, wenn nicht beide der Spur parallel laufen. Wir legen endlich die Kreisebene um die Spur in die Tafel um(Fig. 20). Sollen nun zwei auf⸗ einander ſenkrechte Kreis⸗ durchmeſſer in ebenſolche Ellipſendurchmeſſer ab⸗ gebildet werden, ſo muß der über der Entfernung der Spurpunkte als Durch⸗ meſſer errichtete„Hilfs⸗ Fig. 20.

kreis“ die Mitte O des

Quadrats und die Mitte M des Parallelogramms enthalten. Umgekehrt ſchneidet der Hilfskreis, der durch die beiden Mitten O und M geht und die Spur s zur Zentralen hat, die Spurpunkte der Achſen aus. Die Längen a und b der Halbachſen können aus den Kreisradien ermittelt werden, deren Abbilder ſie ſind.

Anmerkung 1. Spiegelt man die Mitte O des Quadrats an der Spur s nach O“, ſo liegt auch dieſer Punkt auf dem Hilfskreis und kann daher zur Konſtruktion benutzt werden. Außerdem geben die Halbierenden des Winkels OMO“ und ſeines Nebenwinkels die Achſenrichtungen; endlich iſt

MO= Pa+ b), MO0“= 4(a— b).

Anmerkung 2. Der Exiſtenzbeweis der Achſen ſollte nicht unterdrückt werden, obwohl die Konſtruktion nur ſelten im Unterricht Verwendung finden wird. Zu em⸗ pfehlen iſt die ſchätzungsweiſe Einzeichnung der Achſenrichtungen; die große Achſe liegt in den beiden ſpitzen Winkeln, welche die Diagonalen bezw. die Mittellinien des gegebenen Parallelogramms bilden. Hiernach iſt leicht die Mittellinie und die Diagonale zu finden, welche die große Achſe in ihrem ſpitzen Winkel einſchließen; die Normalen dieſer Linien enthalten die kleine Achſe, für deren Einzeichnung nur ein kleiner Spiel⸗ raum bleibt; die große Achſe wird als Lot der kleinen Achſe gefunden. Da die Ellipſe

zu den Achſen ſymmetriſch iſt und ſie rechtwinklig ſchneidet, kann man mit ihrer Hilfe die Kurve aus dem konjugiert umſchriebenen Parallelogramm ſcharf treffen.