26 II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes.
Konſtruktion ſelbſt durch Parallelprojektion auf die Ellipſe wörtlich über⸗ tragen läßt.
32. Nach dem Lehrſatz des Thales kann man einen Kreis punktweiſe aus den Enden eines Durchmeſſers erhalten, in⸗ dem man je zwei durch dieſe Punkte gehende Strahlen zum Schnitt bringt, die aufeinander ſenkrecht ſtehen. Da ſenkrechte Geraden durch Parallelprojektion in konjugierte übergehen, ſo
Sig. 19. folgt für die Ellipſe der Satz:
Die Sehnen, welche die Enden eines Durchmeſſers mit einem Punkte der Ellipſe verbinden, haben konjugierte Rich— tung, und umgekehrt, zieht man durch die Enden eines Durch— meſſers Strahlen, die paarweiſe konjugiert ſind, ſo ſchneiden ſie ſich auf der Ellipſe(Fig. 19).
Wenn alſo von einer Ellipſe zwei konjugierte Durchmeſſer nach Länge und Richtung gegeben ſind, ſo iſt ſie eindeutig beſtimmt.
Anmerkung 1. Zeichnet man aus beliebigen ſich wechſelweiſe halbierenden Strecken 2u und 2 v als Mittellinien das Parallelogramm und errichtet über einer Seite das Quadrat, ſo wird dieſelbe Affinität, die das Quadrat in das Parallelogramm überführt, den Inkreis des Quadrats in die Kurve abbilden, die man nach den vor⸗ ſtehenden Vorſchriften aus 2u und 2v erhält. Eine ſolche Kurve iſt alſo ſtets eine Ellipſe; daraus folgt: Das affine Bild einer Ellipſe iſt eine Ellipſe, im Sonderfall ein Kreis.
Anmerkung 2. J. Wellſteinan gibt eine einfache Konſtruktion der Ellipſe für den allgemeineren Fall, daß ein Durchmeſſer nebſt der ihm konjugierten Richtung und ein weiterer Punkt der Ellipſe gegeben iſt. Das Verfahren beruht darauf, daß jedes vollſtändige Viereck(oder jedes Dreieck ſamt drei durch einen Punkt gehenden Ecktransverſalen) als affines Bild eines Höhenvierecks, d. h. eines Dreiecks mit Höhen⸗ punkt gelten kann. Dem Schüler dürfte aber der hier eingeſchlagene Weg verſtänd⸗ licher ſein.
33. Achſen der Ellipſe. Projiziert man einen Kreis ſenkrecht, ſo gehen diejenigen beiden aufeinander ſenkrechten Kreisdurchmeſſer, deren einer der Tafel parallel iſt, in ſenkrechte Ellipſendurchmeſſer über, in die „Achſen“ der Ellipſe, d. h. in die beiden konjugierten Durchmeſſer, die aufeinander ſenkrecht ſtehen. Hat jede Ellipſe, auch eine durch ſchiefe Projektion des Kreiſes entſtandene, Achſen, und wie findet man ſie?
Dem zu projizierenden Kreiſe ſei ein Quadrat umſchrieben derart, daß zwei Gegenſeiten der Tafel parallel laufen. Ohne das Bild zu ändern,
22 Weber u. Wellſtein, a. a. O., S. 428.