24 II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes.

d) Wenn in einem der Ellipſe umſchriebenen Parallelogramm auch die Mittellinien konjugiert ſind, ſo iſt es das Abbild eines Quadrats.

Erklärung. Ein Parallelogramm, deſſen Mittellinien konjugierte Ellipſendurchmeſſer ſind, heißt konjugiert umſchrieben.

30. Skizzierung der Ellipſe. Für die Zeichnung der Ellipſe aus zwei konjugierten Durchmeſſern iſt die Löſung der folgenden Aufgabe von Wichtigkeit.

Aufgabe. Von einer Ellipſe ſei ein konjugiert umſchriebenes Parallelo⸗

gramm gegeben; es ſoll eine zweite eben⸗

ſolche Figur konſtruiert werden, welche mit — der erſten zuſammen das affine Abbild eines „

— 8 regelmäßigen Sternachteckes bildet(Fig. 17). — Das regelmäßige Sternachteck beſteht A&ᷣ7

aus zwei Quadraten, die um 450 gegen⸗ 74— einander verdreht ſind; es fallen alſo auch 7—; im affinen Bild die Diagonalen des zweiten d a 1r Parallelogramms auf die Mittellinien des

erſten, und jede Diagonale ſteht zu der in ihr liegenden Mittellinie im Verhältnis V2: 1. Haben die Mittellinien des gegebenen Parallelogramms die Längen 2u und 2-, ſo ſind die Ecken des geſuchten Parallelogramms um u Vz und vVZ von der Ellipſenmitte entfernt, ſo daß man dieſe Entfernungen als Hypotenuſen gleichſchenklig⸗rechtwinkliger Dreiecke mit den Katheten u bezw. v findet.¹*

Anmerkung 1. Die Richtigkeit vorſtehender Konſtruktion ergibt ſich daraus, daß Teilverhältniſſe auf ein und derſelben oder auf parallelen Geraden bei affiner Ab⸗ bildung erhalten bleiben(affine Punktreihen ſind ähnlich)h. Bei der Anwendung auf ſtereometriſche Aufgaben aber kommt man ohne dieſen Satz aus. Es liegt nämlich ein Durchmeſſer— etwa 2u— in der Tafel oder ihr parallel, ſo daß ſeine Punkte kongruent abgebildet werden; weil außerdem die Seiten des„verſchränkten“ Parallelo⸗ gramms den Diagonalen des gegebenen parallel ſind, überträgt ſich das Teilverhältnis V2:1 auf das Bild des ſenkrecht zur Tafel liegenden Durchmeſſers.

Iſt das gegebene Parallelogramm das konjugiert umſchriebene Recht⸗ eck, ſo iſt das andere das konjugiert umſchriebene Rhombus; ſind um— gekehrt die gegebenen Ellipſendurchmeſſer gleichlang, ſo daß die Tangenten in ihren Enden ein konjugiert umſchriebenes Rhombus bilden, ſo wird dieſes durch das konjugiert umſchriebene Rechteck zum Sternachteck er⸗

¹⁰ Chr. Wiener, Verhandlungen des naturwiſſenſchaftlichen Vereins zu Karls⸗ ruhe, Band XI:„über die Schönheit der Linien“, Anhang 1890(1891), u. H. Wiener, Abhandlungen uſw., S. 58.