II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes. 23
der von ihm halbierten Sehnen. Unter dieſen Sehnen iſt ein Durch⸗ meſſer 2 v enthalten; 2 u und 2v ſind alſo Abbilder ſenkrechter Kreis⸗ durchmeſſer. Das Parallelogramm, welches 2 u und 2v zu Mittellinien hat, iſt das Abbild eines dem Kreis umſchriebenen Quadrats; daher ſind ſeine zu u parallelen Seiten die Ellipſentangenten in den Enden des Durchmeſſers 2 v. Mithin iſt die Richtung von u dem Durchmeſſer 2 v konjugiert.
Erklärung. Die Abbilder ſenkrechter Kreisdurchmeſſer nennt man konjugierte Durchmeſſer.
Folgerung. Je zwei konjugierte Durchmeſſer ſind einander wechſel⸗ weiſe zugeordnet.
Anmerkung. Es ſei geſtattet, an dieſer Stelle die Verwendung der Mittel⸗ linien des Parallelogramms im Unterricht zu empfehlen. Die Mittellinien werden durch die Diagonalen harmoniſch getrennt; da nun auch umgekehrt zwei harmoniſche Strahlenpaare als Mittellinien und Diagonalen von Parallelogrammen dienen können, hat man in dieſer Eigenſchaft eine Definition harmoniſcher Strahlenpaare und ſomit eine elementare und zugleich maßzahlfreie Einführung harmoniſcher Stücke überhaupt. 1s Aber ſchon auf der Unterſtufe dürfte es ſich empfehlen, die durch die Mitte eines Parallelogramms zu den Seiten gezogenen Parallelen als Mittellinien einzuführen und zu zeigen, daß ſie die Seiten halbieren, daß ſie ſich wechſelweiſe halbieren, alſo die Diagonalen eines Parallelogramms ſind»und daß ſie im Rechteck Achſen ſind. Die Mittellinie eines Dreiecks ergibt ſich dann ganz von ſelbſt, weil dieſes durch Spiegelung an der Mitte einer Dreiecksſeite zum Parallelogramm ergänzt werden kann, und das Trapez erledigt ſich durch Zerlegung in zwei Dreiecke. Es ſcheint mir zweckmäßig, die auch für den Proportionalitätslehrſatz grundlegenden Sätze von der Mittellinie an die Lehre vom Parallelogramm anzuſchließen, das im Mittelpunkt des ganzen Kapitels ſteht. Bringt man die Mittellinie erſt bei dem Trapez, ſo fehlt der Begriff, wenn er beim Rechteck gebraucht wird.
29. Aufgaben und Erklärung. Folgende für die Ellipſe gültigen Sätze ſind zu beweiſen:
a) Die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne ſchneiden ſich auf dem der Sehne konjugierten Durchmeſſer.
b) Iſt ein Parallelogramm einer Ellipſe eingeſchrieben, ſo ſind ſeine Mittellinien konjugierte Durchmeſſer der Ellipſe.[Das Parallelogramm iſt das Abbild eines Rechtecks.]
c) Iſt ein Parallelogramm einer Ellipſe umſchrieben, ſo ſind ſeine Diagonalen konjugierte Durchmeſſer.[Das Urbild des Parallelogramms iſt ein Rhombus.]
¹s H. Wiener, Abhandlungen uſw., S. 70.