II. Die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes. 21
Nun ſollen die Eigenſchaften des Kreiſes auf ſein Bild in Parallel⸗ projektion übertragen werden, auf die aus dem Zeichenunterricht bekannte Ellipſe; wir definieren daher die Ellipſe als affines Bild des Kreiſes.“? Die Übereinſtimmung dieſer Erklärung mit der von den Brennpunkten ausgehenden wird ſich nachträglich ergeben. Der Kreis erſcheint unſerer Erklärung zufolge als Sonderfall der Ellipſe.
25. Die Grundeigenſchaft des Kreiſes, daß alle ſeine Halbmeſſer gleich ſind, kann ſich auf ſein Bild i. a. nicht übertragen, weil dieſes eben kein Kreis iſt. Da man aber weiß, daß die Mitte einer Strecke in die Mitte der Bildſtrecke übergeht, wird man von dem Kreisdurchmeſſer aus⸗ gehen und erhält den
Satz: Die Ellipſe hat einen Mittelpunkt, nämlich das Bild der Kreismitte; alle durch dieſen Punkt gehenden Sehnen— die Ellipſen⸗ durchmeſſer— halbieren ſich gegenſeitig.
Hieraus folgt unmittelbar, daß die Ellipſe durch jeden Durchmeſſer in zwei kongruente Hälften geteilt wird, die durch Umdrehung um die Mitte ineinander übergehen(Fig. 15).
26. Die Lehrſätze von der Kreistangente und der Kreisſehne werden erſt durch den Vergleich mit der Ellipſe ins rechte Licht gerückt, inſofern bei letzterer der Halbmeſſer— zum Berührpunkt der Tangente von der Kurven⸗ normalen und von dem aus dem Mittelpunkt—— auf die Tangente gefällten Lot ſinnlich unter⸗ ſchieden werden kann. Um jetzt die beiden Kurven Fs. 10 gemeinſame Tangenteneigenſchaft zu finden, geht man wieder von dem Durchmeſſer aus und erhält den
Satz: Die Tangenten in den Enden eines Durchmeſſers ſind parallel(da parallele Geraden durch ebenſolche abgebildet werden]. Zuſatz: Die dieſen Tangenten parallelen Sehnen werden durch den Durchmeſſer halbiert.
27. Aufgaben. a) Gegeben iſt ein beliebiges Dreieck, geſucht ein regel⸗ mäßiges Dreieck als affines Urbild des gegebenen, d. h. ein ſolches, aus dem das gegebene durch Parallelprojektion hervorgeht.
Als Löſung kann das über einer Seite der gegebenen Figur errichtete regelmäßige Dreieck gelten; man drehe es um die gemeinſame Grundlinie
¹7 Vergl. Weber⸗Wellſtein, Enzyklopädie der Elementar⸗Mathematik, III, S. 427. Teubner, 1907. Von der dort gegebenen Darſtellung unterſcheidet ſich die vorliegende beſonders durch die Hervorhebung des pädagogiſchen Elements.