I. Die einfachſten Körper in Parallelprojektion. 11

Stab auf dem Erdboden ſenkrecht ſteht, ſo muß man von zwei Seiten her die Richtung nachſehen; die Beobachtung führt zu dem Ergebnis: Steht eine Gerade auf zwei Geraden einer Ebene ſenkrecht, ſo ſteht ſie auf jeder Geraden ſenkrecht, die in der Ebene durch ihren Fußpunkt geht, ſie ſteht„auf der Ebene ſenkrecht“. Beiſpiele: Die Gerade, die auf den Diagonalen eines Quadrats ſenkrecht ſteht, ſteht auch auf den Mittellinien ſenkrecht.— Für die in N7 ff. angegebenen Beiſpiele iſt für die auf der Tafel ſenkrechten Stäbe nachzuweiſen, daß ſie auf zwei Geraden der Tafel ſenkrecht ſtehen; auch iſt zu zeigen, daß die Hauptachſe ſenkrecht auf dem Grundriß und daß die Querachſe ſenkrecht auf dem Kreuzriß ſteht.

Zahlreiche Aufgaben aus der Kryſtallographie gibt Müller⸗Preslers; ſie lehren beſonders, den Schnitt zweier Ebenen zu finden.

*13a. Das Oktaeder iſt um die Hauptachſe um 45⁰° zu drehen und in dieſer Stellung zu zeichnen.

Der Schnitt mit der Tafel iſt ein Rhombus, deſſen lange Diago⸗ nale durch die Hauptachſe, deſſen kürzere Diagonale durch das zwei Gegen⸗ kanten gemeinſame Mittellot gebildet wird. Man zeichne auch die in der Schnittfigur enthaltenen je zwei Gegenſeiten gemeinſamen Mittellote ein.

Anmerkung. Das Oktaeder geſtattet Drehungen um ſeine Diagonalen von 90⁰, 1800 und 270⁰, um die Mittellote zweier Gegenkanten ſolche von 180⁰° und um die Mittellote der Flächen ſolche von 120 und 240⁰.([Die in der Schnittfigur ent⸗ haltenen Achſen ſind aufzuſuchen.] Alle dieſe Drehungen bilden mit der Identität die „Oktaedergruppe“, die mit der des Würfels übereinſtimmt.“

14. Eine gerade, dreiſeitige Pyramide aus der Grundkante a= 6 und der Höhe h= 5 zu zeichnen und in beliebiger Höhe durch eine zur Grundfläche parallele Ebene abzuſchneiden; eine Grundkante ſoll in der Tafel liegen. 3

Wir müſſen hier zuerſt die Grundfläche abbilden; eine ihrer Seiten iſt in der Tafel angenommen, die Gegenecke liegt ſenkrecht vor der Seiten⸗ mitte, um die Flächenhöhe von ihr entfernt; die Höhe des Grunddreiecks iſt alſo i. w. Gr. zu beſtimmen und in ſchiefer Projektion anzutragen. Die Höhe der Pyramide trifft das regelmäßige Grunddreieck in der Mitte, dieſe findet ihr Bild im Schwerpunkt; die Höhe iſt in wahrer Länge und Richtung einzutragen. Die zur Grundfläche parallele Ebene ſchneidet jede Seitenfläche in einer zu ihrer Grundkante parallelen Geraden. Um die Höhe des Pyramidenſtumpfes zu finden, muß man die Höhe der Pyramide

s Müller⸗Presler, a. a. O., S. 62 ff. » H. Wiener, Abhandlungen, a. a. O.