10 I. Die einfachſten Körper in Parallelprojektion.

* 12. Aufgaben über den Schnitt von Ebenen mit Ebenen und Geraden.

a) Eine ſechsſeitige Pyramide zu zeichnen(die Tafel durch die Spitze und eine Hauptdiagonale der Grundfläche gelegt] und den Schnitt zweier nicht benachbarter Seitenflächen zu beſtimmen.

Löſung: Da die Seitenflächen die Spitze gemein haben, ſchneiden ſie ſich und zwar in einer durch dieſen Punkt gehenden Geraden. Um einen weiteren gemeinſamen Punkt zu finden, benutzt man eine„Hilfsebene“, nämlich die Grundfläche und ſtützt ſich auf den Satz, daß die drei Kanten, in denen ſich drei Ebenen wechſelweiſe ſchneiden, durch einen Punkt gehen oder parallel ſind. Es können beide Fälle eintreten, bei der quadratiſchen Pyramide nur der letztgenannte.

b) Die Endpunkte der von der Ecke eines Würfels ausgehenden Kanten ſind verbunden und die Ebene dieſes Dreiecks iſt mit der von dieſer Ecke aus⸗ gehenden Diagonale zu ſchneiden(Fig. 7).

Löſung: Man legt durch die Diagonale eine„Hilfs⸗ ebene“, nämlich eine der drei Diagonalebenen; jede

Fig. 7. ſchneidet das Dreieck in einer Schwerlinie, alſo iſt der Schwerpunkt der geſuchte Schnittpunkt. Außerdem ſteht die Diagonale ſenkrecht auf der Dreiecksebene; die in der Deckfläche liegende Dreiecksſeite ſteht nämlich auf der i. d. Figur eingezeichneten Diagonalebene ſenkrecht, alſo auch auf der Würfeldiagonale(Winkel windſchiefer Geraden), ebenſo ſteht letztere auf den anderen Dreiecksſeiten ſenkrecht.

Anmerkung. Eine Drehung von 120° oder 240°um die Diagonale führt den Würfel lund das Dreieck] in ſich über. Außerdem geſtattet der Würfel noch Drehungen von 180 um die gemeinſamen Mittellote zweier Gegenkanten ſowie Drehungen von 900, von 180 und von 270⁰ um die gemeinſamen Mittellote je zweier gegenüberliegender Flächen; je eine dieſer Drehachſen iſt in dem Diagonalſchnitt als Mittellinie enthalten. Alle genannten Drehungen bilden mit der Identität eine Gruppe, die auch bei dem Oktaeder auftritt(ſiehe unten) und die man als Oktaedergruppe bezeichnet.[H. Wiener, a. a. O.)

c) Eine Diagonalebene des Würfels mit einer in ihr nicht enthaltenen Würfeldiagonale zu ſchneiden.

13. Das regelmäßige Oktaeder unter Benutzung des mineralogiſchen Achſenkreuzes zu zeichnen: Die Hauptachſe geht ſenkrecht aufwärts und liegt mit der Querachſe in der Aufrißtafel, während die Längsachſe auf ihr ſenkrecht ſteht.— In welchen der vorhergehenden Aufgaben tritt ebenfalls ein Achſenkreuz auf? An dieſer Stelle kann man auf das Senkrecht⸗ ſtehen von Ebenen und Geraden eingehen. Soll man prüfen, ob ein